Em cada caso esboce o conjunto X do plano \mathbb{R}^{2} e determine sua fronteira. Classifique X em: aberto, fechado, limitado, compacto. X=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; 1<x^{2}+y^{2} \leq 2\right\}.
Classificar X quanto a ser aberto, fechado, limitado e compacto.
Informações importantes que temos do enunciado:
A condição é dada em termos da função f(x,y)=x^{2}+y^{2}.
Os limites são as curvas x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=2.
No lado interno: x^{2}+y^{2}>1 (a igualdade em 1 está excluída).
No lado externo: x^{2}+y^{2}\le 2 (a igualdade em 2 está incluída).
Passo 2
Esboço e interpretação geométrica (explicação com jeitinho):
A equação x^{2}+y^{2}=r^{2} descreve um círculo de raio r centrado na origem. Aqui aparecem os círculos de raio 1 e de raio \sqrt{2}.
A condição 1<x^{2}+y^{2} significa pontos estritamente fora do círculo de raio 1 (o círculo interno não pertence ao conjunto).
A condição x^{2}+y^{2}\le 2 significa pontos no disco de raio \sqrt{2} (o círculo externo pertence ao conjunto).
Portanto, geometricamente X é a “faixa” anelar entre os dois círculos: o anel aberto pela borda interna (r=1 excluída) e fechado pela borda externa (r=\sqrt{2} incluída). No esboço pense num anel fino: o círculo interno tracejado (não incluso) e o círculo externo contínuo (incluso), e a região entre eles.
Passo 3
Reescrevendo em coordenadas polares (ferramenta útil):
É prático usar r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. A condição fica
Isso confirma a interpretação: todos os pontos cuja distância à origem r satisfaz 1<r\le\sqrt{2}.
Passo 4
Determinação do interior de X (passo necessário para achar a fronteira):
Definição utilizada: um ponto p está no interior de X se existe uma bola aberta centrada em p totalmente contida em X.
Seja p\in X com f(p)=x_{p}^{2}+y_{p}^{2}=a.
Se 1<a<2, então p está estritamente entre as duas curvas. Use a continuidade da função f: escolha
\delta=\min\{a-1,\,2-a\}>0.
Pela continuidade existe \varepsilon>0 tal que, se \|(x,y)-p\|<\varepsilon então |f(x,y)-a|<\delta. Assim, para esses pontos vale
f(x,y)\in (a-\delta,\,a+\delta)\subset(1,2),
logo toda essa bola está contida em X. Portanto todo ponto com 1< x^{2}+y^{2}<2 é ponto interior de X.
Se x^{2}+y^{2}=2, então p\in X mas qualquer vizinhança de p contém pontos com x^{2}+y^{2}>2 (fora do disco) e pontos com x^{2}+y^{2}<2. Logo pontos com r^{2}=2 não são pontos interiores.
Determinação da aderência (closure) de X (também necessária para a fronteira):
Definição usada: a aderência \overline{X} é o conjunto de todos os pontos tais que toda vizinhança intersecta X (ou seja, X mais todos os seus pontos-limite).
Qualquer ponto com 1<x^{2}+y^{2}\le 2 claramente está em \overline{X} (pois X contém esses pontos ou aproximações).
Pontos com x^{2}+y^{2}=1: toda bola centrada neles contém pontos com x^{2}+y^{2}>1 arbitrariamente próximos (por exemplo, ao deslocar radialmente para fora), portanto essas bolas interceptam X. Assim o círculo interno x^{2}+y^{2}=1 está na aderência mesmo não estando em X.
Pontos com x^{2}+y^{2}<1 ou x^{2}+y^{2}>2 têm uma vizinhança que não intercepta X, portanto não estão na aderência.
Em palavras: a fronteira é a união dos dois círculos, o interno de raio 1 e o externo de raio \sqrt{2}.
Justificação curta e direta: cada ponto desses círculos tem toda vizinhança que encontra pontos de X e pontos do complemento de X, logo são pontos de fronteira; nenhum outro ponto tem essa propriedade.
Passo 7
Classificações (definições rápidas e aplicação):
Aberto: um conjunto é aberto se todo ponto pertence ao interior. Como X contém pontos com x^{2}+y^{2}=2 que não são pontos interiores, X não é aberto.
Fechado: um conjunto é fechado se contém sua aderência (ou, equivalentemente, se contém todos os seus pontos-limite). Aqui 1\le x^{2}+y^{2}\le 2 é a aderência e X não contém os pontos com x^{2}+y^{2}=1. Logo X não é fechado.
Limitado: um conjunto é limitado se está contido em algum disco de raio finito. Como X\subset\{(x,y):x^{2}+y^{2}\le 2\}, está contido no disco de raio \sqrt{2}. Logo X é limitado.
Compacto: em \mathbb{R}^{2} (espaço métrico), compacto equivale a fechado e limitado. Apesar de ser limitado, X não é fechado; portanto não é compacto.