Calcule o centro de massa:
e a densidade é proporcional à distância do ponto ao eixo
.
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede.
- Região
é a metade superior da elipse: - A densidade superficial é proporcional à distância do ponto ao eixo
. Como em , isso significa que a densidade pode ser escrita como onde é a constante de proporcionalidade (não fornecida). - O que é pedido: calcular o centro de massa da lâmina ocupando
com essa densidade. Ou seja, determinar as coordenadas
Passo 2
Fórmulas do centro de massa e explicação das variáveis (aulas rápidas).
- A massa total
da lâmina é a integral dupla da densidade sobre : Aqui é o elemento de área (no plano, ). - As coordenadas do centro de massa são
Explicando: é a média ponderada das abscissas com pesos ; é a média ponderada das ordenadas.
Passo 3
Observação de simetria para simplificar
.
- A região
é simétrica em relação ao eixo : se então . - A densidade
depende apenas de (é par em ). Assim o integrando é função ímpar em sobre uma região simétrica. - Portanto a integral de
sobre é zero, logo
Passo 4
Escolha de mudança de variáveis para simplificar a região e preparar as integrais.
- A elipse é dada por
. Fazemos a transformação linear Essa transformação leva a elipse para o disco unidade: . Como , temos : a região em é o semidisco superior unitário. - Calculamos o jacobiano da transformação:
- Em termos de
a densidade fica - Resumo: integrar sobre o semidisco
com e densidade em igual a .
Passo 5
Cálculo da massa total
.
- Escrevendo a integral em
: - Passamos para coordenadas polares no plano
: com e (semicircunferência superior). O elemento de área é . - Substituindo:
- Avaliando as integrais:
- Portanto
Passo 6
Cálculo do numerador de
:
.
- Note que
. Em temos , então . - O integrando em
com o jacobiano é - Passando para coordenadas polares
no plano : Então - Avaliando as integrais:
- Logo
Passo 7
Cálculo final de
e simplificação; interpretação numérica.
- Pela definição
- Cancelando
e simplificando: - Valor numérico aproximado:
que está dentro do intervalo esperado para a metade superior da elipse (semieixo vertical vale ).
Passo 8
Resumo final das coordenadas do centro de massa (relembrando
por simetria).
- Portanto o centro de massa tem coordenadas