Calcule o centro de massa:
B=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+4 y^{2} \leq 1, y \geq 0\right\} e a densidade é proporcional à distância do ponto ao eixo x.

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Região B é a metade superior da elipse: B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+4y^{2}\le 1,\; y\ge 0\}.
  • A densidade superficial é proporcional à distância do ponto ao eixo x. Como y\ge0 em B, isso significa que a densidade pode ser escrita como \rho(x,y)=k\,y,onde k>0 é a constante de proporcionalidade (não fornecida).
  • O que é pedido: calcular o centro de massa da lâmina ocupando B com essa densidade. Ou seja, determinar as coordenadas \bar{x}\quad\text{e}\quad\bar{y}.

Passo 2

Fórmulas do centro de massa e explicação das variáveis (aulas rápidas).
  • A massa total M da lâmina é a integral dupla da densidade sobre B: M=\iint_{B}\rho(x,y)\,dA.Aqui dA é o elemento de área (no plano, dA=dx\,dy).
  • As coordenadas do centro de massa são \bar{x}=\frac{1}{M}\iint_{B} x\,\rho(x,y)\,dA,\qquad \bar{y}=\frac{1}{M}\iint_{B} y\,\rho(x,y)\,dA.Explicando: \bar{x} é a média ponderada das abscissas com pesos \rho; \bar{y} é a média ponderada das ordenadas.

Passo 3

Observação de simetria para simplificar \bar{x}.
  • A região B é simétrica em relação ao eixo y: se (x,y)\in B então (-x,y)\in B.
  • A densidade \rho(x,y)=k y depende apenas de y (é par em x). Assim o integrando x\,\rho(x,y) é função ímpar em x sobre uma região simétrica.
  • Portanto a integral de x\,\rho sobre B é zero, logo \bar{x}=0.

Passo 4

Escolha de mudança de variáveis para simplificar a região e preparar as integrais.
  • A elipse é dada por x^{2}+4y^{2}\le1. Fazemos a transformação linear u=x,\qquad v=2y.Essa transformação leva a elipse para o disco unidade: u^{2}+v^{2}\le1. Como y\ge0, temos v\ge0: a região em (u,v) é o semidisco superior unitário.
  • Calculamos o jacobiano da transformação: x=u,\quad y=\frac{v}{2}\quad\Rightarrow\quad dx\,dy=\frac{1}{2}\,du\,dv.
  • Em termos de u,v a densidade fica \rho(x,y)=k y = k\frac{v}{2} = \frac{k}{2}\,v.
  • Resumo: integrar sobre o semidisco \{u^2+v^2\le1,\;v\ge0\} com dA=\frac{1}{2}\,du\,dv e densidade em u,v igual a \frac{k}{2}v.

Passo 5

Cálculo da massa total M.
  • Escrevendo a integral em u,v: M=\iint_{B}\rho\,dA =\iint_{\substack{u^{2}+v^{2}\le1\\\ v\ge0}}\frac{k}{2}v\cdot\frac{1}{2}\,du\,dv =\frac{k}{4}\iint_{\substack{u^{2}+v^{2}\le1\\\ v\ge0}} v\,du\,dv.
  • Passamos para coordenadas polares no plano (u,v): u=r\cos\theta,\qquad v=r\sin\theta,com r\in[0,1] e \theta\in[0,\pi] (semicircunferência superior). O elemento de área é du\,dv=r\,dr\,d\theta.
  • Substituindo: M=\frac{k}{4}\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=0}^{1} (r\sin\theta)\,(r\,dr\,d\theta) =\frac{k}{4}\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta\int_{0}^{1} r^{2}\,dr.
  • Avaliando as integrais: \int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta=2,\qquad \int_{0}^{1} r^{2}\,dr=\frac{1}{3}.
  • Portanto M=\frac{k}{4}\cdot 2\cdot\frac{1}{3}=\frac{k}{6}.

Passo 6

Cálculo do numerador de \bar{y}: N_y=\iint_{B} y\,\rho(x,y)\,dA.
  • Note que y\,\rho(x,y)=y\cdot(k y)=k y^{2}. Em u,v temos y=\dfrac{v}{2}, então y^{2}=\dfrac{v^{2}}{4}.
  • O integrando em u,v com o jacobiano é k y^{2}\,dA = k\cdot\frac{v^{2}}{4}\cdot\frac{1}{2}\,du\,dv = \frac{k}{8} v^{2}\,du\,dv.
  • Passando para coordenadas polares (r,\theta) no plano (u,v): v^{2}=(r\sin\theta)^{2}=r^{2}\sin^{2}\theta, \qquad du\,dv=r\,dr\,d\theta.Então N_y=\frac{k}{8}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1} r^{2}\sin^{2}\theta\,(r\,dr\,d\theta) =\frac{k}{8}\int_{0}^{\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta\int_{0}^{1} r^{3}\,dr.
  • Avaliando as integrais: \int_{0}^{\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta=\frac{\pi}{2},\qquad \int_{0}^{1} r^{3}\,dr=\frac{1}{4}.
  • Logo N_y=\frac{k}{8}\cdot\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{k\pi}{64}.

Passo 7

Cálculo final de \bar{y} e simplificação; interpretação numérica.
  • Pela definição \bar{y}=\frac{N_y}{M}=\frac{\dfrac{k\pi}{64}}{\dfrac{k}{6}}.
  • Cancelando k e simplificando: \bar{y}=\frac{\pi}{64}\cdot 6=\frac{6\pi}{64}=\frac{3\pi}{32}.
  • Valor numérico aproximado: \bar{y}\approx\frac{3\cdot 3{,}14159}{32}\approx 0{,}2945,que está dentro do intervalo [0,\tfrac{1}{2}] esperado para a metade superior da elipse (semieixo vertical vale \tfrac{1}{2}).

Passo 8

Resumo final das coordenadas do centro de massa (relembrando \bar{x}=0 por simetria).
  • Portanto o centro de massa tem coordenadas \boxed{\bigl(\bar{x},\bar{y}\bigr)=\Bigl(0,\frac{3\pi}{32}\Bigr).}

Resposta

\bar{x}=0
\bar{y}=\dfrac{3\pi}{32}

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