Em cada caso esboce o conjunto X do plano \mathbb{R}^{2} e determine sua fronteira. Classifique X em: aberto, fechado, limitado, compacto. X=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x<y\right\}.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
X=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x<y\right\}.
Pede-se:
Esboçar o conjunto X no plano \mathbb{R}^2.
Determinar a fronteira de X (isto é, \partial X).
Classificar X quanto a ser aberto, fechado, limitado e compacto.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A desigualdade x<y define uma região do plano relativa à reta de equação y=x.
Não há outras restrições (nenhum ponto está excluído exceto os que não satisfazem x<y).
Passo 2
Esboço e descrição geométrica de X.
A reta de equação y=x (diagonal que passa pela origem com inclinação 1) divide o plano em duas metades.
O conjunto X é a metade estrita acima dessa reta: todos os pontos que estão “acima” da reta y=x, mas com a reta excluída (porque a desigualdade é estrita x<y).
No esboço, sombreia a região acima da reta y=x e deixe a reta desenhada como linha traçada mas não preenchida (ou seja, a linha não pertence a X).
Passo 3
Mostrar que X é aberto (propriedade local via bolas abertas).
Seja (a,b)\in X. Então a<b. Defina
r=\frac{b-a}{2}.
Note que r>0. Considere a bola aberta centrada em (a,b) de raio r, isto é
Queremos mostrar que B_r(a,b)\subset X. Seja (x,y)\in B_r(a,b). Então |x-a|<r e |y-b|<r. Daí
y-x = (b-a) + (y-b) - (x-a).
Usando as desigualdades triangulares e os limites anteriores:
y-x > (b-a) - |y-b| - |x-a| > (b-a) - r - r = (b-a) - 2r = 0.
Portanto y-x>0, ou seja x<y. Logo (x,y)\in X. Conclui-se B_r(a,b)\subset X. Como para todo ponto de X existe uma bola aberta contida em X, o conjunto X é aberto.
Explicação didática curta: para um ponto com x<y é sempre possível escolher um pequeno raio menor que a diferença (y-x) de modo que a vizinhança inteira mantenha a desigualdade x<y.
Passo 4
Mostrar que o complemento X^c é fechado (maneira via função contínua).
Defina a função linear \varphi:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} por \varphi(x,y)=x-y. Essa função é contínua (é uma combinação linear das coordenadas). Observe que
Como [0,\infty)\subset\mathbb{R} é um conjunto fechado e \varphi é contínua, a pré-imagem \varphi^{-1}([0,\infty)) é fechada. Portanto X^c é fechado. Como complemento de conjunto fechado é aberto, isso confirma novamente que X é aberto.
Passo 5
Mostrar que X não é fechado (exibindo pontos-limite que não pertencem a X).
Considere um ponto da reta diagonal (a,a) (qualquer a\in\mathbb{R}). A sequência \bigl(a, a+\tfrac{1}{n}\bigr), com n\in\mathbb{N}, pertence a X porque a< a+\tfrac{1}{n}. Essa sequência converge para (a,a). Logo (a,a) é ponto de adesão (ponto-limite) de X. Porém (a,a)\notin X pois não satisfaz x<y. Portanto X não contém todos os seus pontos-limite e assim não é fechado.
Passo 6
Determinar a aderência (fecho) \overline{X} e a fronteira \partial X.
Primeiro, a aderência \overline{X} é o conjunto de todos os pontos que são limites de sequências em X. Observações:
Se x<y então (x,y)\in X\subset\overline{X}.
Se x=y então (x,y) é limite da sequência \bigl(x,y+\tfrac{1}{n}\bigr) em X, logo (x,y)\in\overline{X}.
Se x>y então existe um raio r=\dfrac{x-y}{2}>0 tal que a bola B_r(x,y) está totalmente contida em X^c, logo (x,y) não é ponto-limite de X.
Assim a fronteira de X é a reta diagonal \{(x,y): x=y\}.
Passo 7
Verificação direta de que cada ponto da reta y=x é fronteira (explicação prática).
Seja (a,a) fixo. Para qualquer r>0 a bola B_r(a,a) contém pontos com x<y e também pontos com x>y. Por exemplo:
O ponto \bigl(a-\tfrac{r}{2}, a+\tfrac{r}{2}\bigr) pertence a B_r(a,a) e satisfaz x<y (logo está em X).
O ponto \bigl(a+\tfrac{r}{2}, a-\tfrac{r}{2}\bigr) pertence a B_r(a,a) e satisfaz x>y (logo está em X^c).
Assim toda vizinhança de (a,a) intersecta X e X^c, caracterizando (a,a) como ponto de fronteira. Isso confirma que a fronteira é exatamente a reta y=x.
Passo 8
Classificação quanto a ser limitado e compacto.
Limitado: um conjunto é limitado se existe R>0 tal que X\subset B_R(0,0). Considere a sequência \bigl(n,n+1\bigr) para n\in\mathbb{N}. Todos os termos satisfazem x<y, logo pertencem a X, mas sua norma \sqrt{n^2+(n+1)^2} tende a +\infty. Assim X não está contido em nenhuma bola de raio finito: X é não limitado (ou seja, ilimitado).
Compacto: pelo Teorema de Heine-Borel em \mathbb{R}^2, um conjunto é compacto se, e somente se, for fechado e limitado. Como X não é fechado (Passo 5) e também não é limitado, X não é compacto.
Passo 9
Resumo das propriedades (para fixar a intuição).
Geometricamente: região estritamente acima da reta y=x, sem incluir a reta.
Aberto: sim (cada ponto tem uma pequena bola inteira dentro de X).
Fechado: não (a reta y=x contém pontos-limite que não pertencem a X).
Limitado: não (existe sequência em X com norma tendendo a infinito).