Em cada caso, esboce a região e calcule sua área.
(h) região interior ao círculo
e exterior à cardióide
. (resp.
);
(h) região interior ao círculo
Passo 1
O enunciado pede a área da região em coordenadas polares que é interior ao círculo
e exterior à cardióide
. O conteúdo necessário é o cálculo de área em coordenadas polares, usando a fórmula
Passo 2
Precisamos achar os valores de
em que as duas curvas se interceptam, isto é, resolver
Reescrevendo
como
vem
Como o trecho onde
é
, a região existe apenas nesse intervalo.
Passo 3
Na região, o raio exterior é o da curva que fica “por fora”, ou seja
, e o raio interior é
. Logo a área é
Expandindo o integrando:
Passo 4
Integramos termo a termo:
Portanto,
Resposta
A área da região é