Em cada caso, esboce a região e calcule sua área.
(h) região interior ao círculo r=cos theta e exterior à cardióide r=1+sen theta. (resp. A=1+pi / 4 );

Passo 1

O enunciado pede a área da região em coordenadas polares que é interior ao círculo r=costheta e exterior à cardióide r=1+sintheta. O conteúdo necessário é o cálculo de área em coordenadas polares, usando a fórmula
A = 12 integraltheta1^theta2 l(rexterno^2 - rinterno^2r),dtheta

Passo 2

Precisamos achar os valores de theta em que as duas curvas se interceptam, isto é, resolver
costheta = 1 + sintheta
Reescrevendo costheta - sintheta =1 como
raiz2cos!l(theta+tfracpi4r)=1
vem
theta+tfracpi4 = pm tfracpi4 + 2kpi Longrightarrow theta = 0 ou theta=-tfracpi2
Como o trecho onde costheta>=1+sintheta é thetain[-tfracpi2,0], a região existe apenas nesse intervalo.

Passo 3

Na região, o raio exterior é o da curva que fica “por fora”, ou seja costheta, e o raio interior é 1+sintheta. Logo a área é
A = 12 integral-pi/2^0 l[l(costhetar)^2 - l(1+sinthetar)^2r],dtheta
Expandindo o integrando:
l(costhetar)^2 - l(1+sinthetar)^2 = cos^2theta - l(1 + 2sintheta + sin^2thetar) = cos2theta -1 -2sintheta

Passo 4

Integramos termo a termo:
integral cos2theta,dtheta = tfrac12sin2theta, integral(-1),dtheta = -theta, integral(-2sintheta),dtheta = 2costheta
Portanto,
A = 12 l[tfrac12sin2theta + 2costheta - thetar]-pi/2^0 = 12l[(0 + 2 - 0) - (0 + 0 - (-tfracpi2))r] = 12l(2 - tfracpi2r) = 1 - tfracpi4

Resposta

A área da região é
A = 1 - pi4

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