Q 69 Usando a definição de derivada, mostre que:
😉

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=1x (para xneq0) usando a definição de derivada. Vamos aplicar
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h

Passo 2

Escrevendo o quociente diferencial:
f(x+h)-f(x)h =1x+h-1xh
Colocando em denominador comum dentro da fração:
1x+h-1x =x-(x+h)x(x+h) =-hx(x+h)
Logo,
f(x+h)-f(x)h =-hx(x+h)cdot1h =-1x(x+h)

Passo 3

Agora basta tomar o limite quando hto0:
f'(x) =limhto0l(-1x(x+h)r) =-1x,(x+0) =-1x^2

Resposta

f'(x)=-1x^2

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