Em cada caso escreva a parte principal da função com relação a sua singularidade isolada. Determine se este ponto é um polo, singularidade essencial ou singularidade removível da função.
Determine a natureza das singularidades das seguintes funções:
z^21+z

Passo 1

Temos a função f(z)=z^21+z. O objetivo é analisar a singularidade isolada em z=-1, escrever a parte principal da expansão de Laurent e identificar se esse ponto é um polo, singularidade essencial ou removível. Vamos usar conceitos de singularidades isoladas, expansão de Laurent e decomposição de frações simples.

Passo 2

A singularidade isolada ocorre quando o denominador 1+z zera, ou seja em z0=-1. Como f é analítica em todo ponto diferente de -1, esse ponto é isolado.

Passo 3

Para achar a parte principal, fazemos substituição w=z+1, então z=w-1. Calculamos:
(w-1)^2w = w^2-2w+1w = w - 2 + 1w
Voltando à variável z, tem-se:
f(z) = (z+1) - 2 + 1z+1

Passo 4

A parte principal da expansão de Laurent em torno de z=-1 é o termo que contém potências negativas de (z+1), que aqui é:
1z+1
Como existe apenas este termo de ordem -1, concluímos que a singularidade em z=-1 é um polo simples (pólo de ordem 1).

Resposta

Parte principal: 1z+1. A singularidade em z=-1 é um polo simples.

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