Em cada caso escreva a parte principal da função com relação a sua singularidade isolada. Determine se este ponto é um polo, singularidade essencial ou singularidade removível da função.
Determine a natureza das singularidades das seguintes funções:
Determine a natureza das singularidades das seguintes funções:
Passo 1
Temos a função
. O objetivo é analisar a singularidade isolada em
, escrever a parte principal da expansão de Laurent e identificar se esse ponto é um polo, singularidade essencial ou removível. Vamos usar conceitos de singularidades isoladas, expansão de Laurent e decomposição de frações simples.
Passo 2
A singularidade isolada ocorre quando o denominador
zera, ou seja em
. Como
é analítica em todo ponto diferente de
, esse ponto é isolado.
Passo 3
Para achar a parte principal, fazemos substituição
, então
. Calculamos:
Voltando à variável
, tem-se:
Passo 4
A parte principal da expansão de Laurent em torno de
é o termo que contém potências negativas de
, que aqui é:
Como existe apenas este termo de ordem
, concluímos que a singularidade em
é um polo simples (pólo de ordem 1).
Resposta
Parte principal:
. A singularidade em
é um polo simples.