Verifique que as funções
a seguir são harmônicas e encontre a função harmônica conjugada
correspondente. Escreva a função holomorfa
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a função dada é harmônica (ou seja, satisfaz a equação de Laplace) e em seguida achar sua conjugada harmônica, usando as condições de Cauchy-Riemann. Vamos precisar calcular derivadas parciais de primeira e segunda ordem de u e, depois, integrar para obter v.
Passo 2
Primeiro, verificamos que u é harmônica calculando suas segundas derivadas:
Calculamos as derivadas de u(x,y)=2x(1−y):
Em seguida as segundas derivadas:
Somando, temos
, portanto u é harmônica.
Passo 3
Aplicamos as condições de Cauchy-Riemann para construir a conjugada v. Lembrando que para f(z)=u+ jv valem:
Como temos
e
, então
Passo 4
Agora integramos cada condição para achar v(x,y). A partir de
:
onde
é uma “constante” de integração (pode depender de y). Depois usamos
:
Integrando em y:
Podemos tomar a constante
sem perda de generalidade, pois ela apenas desloca v por uma constante. Logo
Passo 5
Agora escrevemos a função holomorfa f(z). Em coordenadas x,y temos
$$f(z)=u(x,y)+jv(x,y)=2x(1-y)+j\bigl(x2+2y-y2\bigr).
$$
Mas é interessante notar que essa expressão equivale à forma em z:
pois, desenvolvendo
em x+jy, recuperamos exatamente u e v acima.