Verifique que as funções a seguir são harmônicas e encontre a função harmônica conjugada correspondente. Escreva a função holomorfa .

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a função dada é harmônica (ou seja, satisfaz a equação de Laplace) e em seguida achar sua conjugada harmônica, usando as condições de Cauchy-Riemann. Vamos precisar calcular derivadas parciais de primeira e segunda ordem de u e, depois, integrar para obter v.

Passo 2

Primeiro, verificamos que u é harmônica calculando suas segundas derivadas:
Calculamos as derivadas de u(x,y)=2x(1−y):
ux=∂∂xl(2x(1−y)r)=2(1−y), uy=∂∂yl(2x(1−y)r)=-2x
Em seguida as segundas derivadas:
uxx=∂∂x(2(1−y))=0, uyy=∂∂y(-2x)=0
Somando, temos uxx+uyy=0+0=0, portanto u é harmônica.

Passo 3

Aplicamos as condições de Cauchy-Riemann para construir a conjugada v. Lembrando que para f(z)=u+ jv valem:
vx=-uy, vy=ux
Como temos ux=2(1−y) e uy=-2x, então
vx=-(-2x)=2x, vy=2(1−y)

Passo 4

Agora integramos cada condição para achar v(x,y). A partir de vx=2x:
v(x,y)=integral 2x,dx=x^2+h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração (pode depender de y). Depois usamos vy=2(1−y):
vy=ddyl(x^2+h(y)r)=h'(y)=2(1−y)
Integrando em y:
h(y)=integral 2(1−y),dy=2y-y^2+C
Podemos tomar a constante C=0 sem perda de generalidade, pois ela apenas desloca v por uma constante. Logo
v(x,y)=x^2+2y-y^2

Passo 5

Agora escrevemos a função holomorfa f(z). Em coordenadas x,y temos
$$f(z)=u(x,y)+jv(x,y)=2x(1-y)+j\bigl(x2+2y-y2\bigr).
$$
Mas é interessante notar que essa expressão equivale à forma em z:
f(z)=u(x,y)+jv(x,y)=2x(1-y)+jl(x^2+2y-y^2r)
pois, desenvolvendo f(z)=jz^2+2z, em x+jy, recuperamos exatamente u e v acima.

Passo 6

Resposta

f(z)=jz^2+2z

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