Seja a transformação
varphi:l x=e^u cos (v) y=e^u sen(v)
dada em Ru v=(u, v) mid u in[0,1], v in[0, pi / 2]. Ache a região correspondente Rx y no plano- x y e avalie
integral duplaRx y x^2 y d Ax y

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a transformação φ dada por
x = e^ucos v, y = e^usin v,
com (u,v) em R_{uv} = [0,1]×[0,π/2]. O objetivo é achar a região R_{xy} no plano xy e calcular integral duplaRxy x^2 y ,dAxy. Vamos usar mudança de variáveis, interpretando como coordenadas polares com r = e^u e θ = v.

Passo 2

Determinação de R_{xy}: como u ∈ [0,1], temos r = e^u ∈ [e0,e1] = [1,e]; e v = θ ∈ [0,π/2]. Logo
Rxy = (x,y)mid 1 <= raizx^2+y^2 <= e, 0 <= arctan(y/x) <= pi/2,
uma região de semianel no primeiro quadrante.

Passo 3

Cálculo do Jacobiano: escrevendo x = e^u\cos v e y = e^u\sin v, temos
J = detpartial(x,y)partial(u,v) = x^2 + y^2 = e^2u

Passo 4

Montagem da integral em (u,v): substituindo x,y e o Jacobiano,
x^2 y = e^3ucos^2 v sin v,
logo
integral duplaRxy x^2 y,dAxy = integral0^1integral0^pi/2 e^3ucos^2 vsin vcdot e^2u,dv,du = integral0^1integral0^pi/2 e^5ucos^2 vsin v,dv,du

Passo 5

Integração em v: note que
integral0^pi/2 cos^2 vsin v,dv
fazendo w = cos v, dw = - sin v dv, resulta em
-integralw=1^0 w^2 ,dw = integral0^1 w^2 ,dw = 13

Passo 6

Integração em u: substituindo o resultado em v,
integral0^1 e^5u,du = e^5u5|0^1 = e^5 - 15
Multiplicando por 1/3 vem
13 cdot e^5 - 15 = e^5 - 115

Resposta

A região R_{xy} é (x,y)mid 1 <= raizx^2+y^2 <= e, 0 <= arctan(y/x) <= pi/2 e a integral vale e^5 - 115.

Exercícios relacionados