dada em . Ache a região correspondente no plano- e avalie
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a transformação φ dada por
com (u,v) em R_{uv} = [0,1]×[0,π/2]. O objetivo é achar a região R_{xy} no plano xy e calcular . Vamos usar mudança de variáveis, interpretando como coordenadas polares com r = e^u e θ = v.
Passo 2
Determinação de R_{xy}: como u ∈ [0,1], temos r = e^u ∈ [e0,e1] = [1,e]; e v = θ ∈ [0,π/2]. Logo
uma região de semianel no primeiro quadrante.
Passo 3
Cálculo do Jacobiano: escrevendo x = e^u\cos v e y = e^u\sin v, temos
Passo 4
Montagem da integral em (u,v): substituindo x,y e o Jacobiano,
logo
Passo 5
Integração em v: note que
fazendo w = cos v, dw = - sin v dv, resulta em
Passo 6
Integração em u: substituindo o resultado em v,
Multiplicando por 1/3 vem
13 cdot e^5 - 15 = e^5 - 115
Resposta
A região R_{xy} é (x,y)mid 1 <= raizx^2+y^2 <= e, 0 <= arctan(y/x) <= pi/2 e a integral vale e^5 - 115.