Em cada caso, estabeleça a excentricidade da cônica. Determine, então os focos e as diretrizes e esboce seu gráfico. Obs.: Enquanto uma parábola tem um foco e uma diretriz, cada elipse (ou hipérbole) possui dois focos e duas diretrizes. Essas são as retas perpendiculares ao eixo maior a distâncias de pm ae do centro.
8 x^2-2 y^2=16

Passo 1

O enunciado pede para cada cônica dada estabelecer a excentricidade, determinar os focos e as diretrizes e esboçar seu gráfico. Aqui temos a equação
8x^2-2y^2=16
O conteúdo é identificação de hipérbole e uso das fórmulas a, b, c e e para encontrar seus elementos geométricos.

Passo 2

Primeiro, coloque a hipérbole em forma canônica dividindo ambos os lados por 16:
8x^216-2y^216=1 Longrightarrow x^22-y^28=1
Comparando com x^2a^2-y^2b^2=1, temos
a^2=2, b^2=8

Passo 3

Para hipérbole horizontal, a relação entre os focos e os vértices é dada por
c^2=a^2+b^2
Logo,
c^2=2+8=10 Longrightarrow c=raiz10
A excentricidade é
e=ca =raiz10raiz2 =raiz5

Passo 4

Os focos ficam sobre o eixo x a distância c do centro (0,0). Assim,
F1=(raiz10,0), F2=(-raiz10,0)

Passo 5

As diretrizes de uma hipérbole horizontal são retas verticais a uma distância ae do centro. Calculando,
ae =raiz2raiz5 =raiz25 =raiz105
Portanto as diretrizes são
x=raiz105, x=-raiz105

Passo 6

Para esboçar o gráfico:
  • Centro em (0,0).
  • Vértices em (pm a,0)=(pmraiz2,0).
  • Assíntotas dadas por y=pmba,x=pm2x.
  • Ramos abrem para a direita e esquerda, aproximando-se das assíntotas.

Resposta

Excentricidade: e=raiz5.
Focos: l(pmraiz10,0r).
Diretrizes: x=pmtfracraiz105.
Esboço: hipérbole horizontal com vértices em (pmraiz2,0) e assíntotas y=pm2x.

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