Em cada caso, estabeleça a excentricidade da cônica. Determine, então os focos e as diretrizes e esboce seu gráfico. Obs.: Enquanto uma parábola tem um foco e uma diretriz, cada elipse (ou hipérbole) possui dois focos e duas diretrizes. Essas são as retas perpendiculares ao eixo maior a distâncias de
do centro.
Passo 1
O enunciado pede para cada cônica dada estabelecer a excentricidade, determinar os focos e as diretrizes e esboçar seu gráfico. Aqui temos a equação
O conteúdo é identificação de hipérbole e uso das fórmulas
,
,
e
para encontrar seus elementos geométricos.
Passo 2
Primeiro, coloque a hipérbole em forma canônica dividindo ambos os lados por
:
Comparando com
, temos
Passo 3
Para hipérbole horizontal, a relação entre os focos e os vértices é dada por
Logo,
A excentricidade é
Passo 4
Os focos ficam sobre o eixo
a distância
do centro
. Assim,
Passo 5
As diretrizes de uma hipérbole horizontal são retas verticais a uma distância
do centro. Calculando,
Portanto as diretrizes são
Passo 6
Para esboçar o gráfico:
- Centro em
. - Vértices em
. - Assíntotas dadas por
. - Ramos abrem para a direita e esquerda, aproximando-se das assíntotas.
Resposta
Excentricidade:
.
Focos: .
Diretrizes: .
Esboço: hipérbole horizontal com vértices em e assíntotas
.
Focos:
Diretrizes:
Esboço: hipérbole horizontal com vértices em