Sejam a, b e n números inteiros positivos tais que: m d c(a, n)=m d c(b, n)=1. Nestas condições mostre que mdc(a b, n)=1.

Passo 1

O enunciado diz que a,b,n são inteiros positivos e que
gcd(a,n)=1 e gcd(b,n)=1
Queremos mostrar que
gcd(ab,n)=1
O conteúdo principal aqui é a propriedade de Bézout, que afirma que gcd(x,y)=1 se e só se existem inteiros alpha,beta tais que alpha x+beta y=1.

Passo 2

Como gcd(a,n)=1, pelo lema de Bézout existem inteiros r e s tais que
r,a + s,n = 1
Analogamente, como gcd(b,n)=1, existem inteiros u e v tais que
u,b + v,n = 1

Passo 3

Multiplicamos as duas igualdades de Bézout:
(r,a + s,n),(u,b + v,n) = 1 times 1 = 1

Passo 4

Expandindo o produto, obtemos
r,u,a,b + l(r,a,v + s,n,u + s,n,vr)n =1
Chame
X = r,u, Y = r,a,v + s,u,b + s,v,n
Então a expansão fica
X,(a b) + Y,n = 1

Passo 5

A última igualdade mostra que existe combinação linear inteira de ab e n que vale 1. Pelo lema de Bézout, isso implica
gcd(ab,n)=1

Resposta

gcd(ab,n)=1

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