Sejam
e
números inteiros positivos tais que:
. Nestas condições mostre que
.
Passo 1
O enunciado diz que
são inteiros positivos e que
Queremos mostrar que
O conteúdo principal aqui é a propriedade de Bézout, que afirma que
se e só se existem inteiros
tais que
.
Passo 2
Como
, pelo lema de Bézout existem inteiros
e
tais que
Analogamente, como
, existem inteiros
e
tais que
Passo 3
Multiplicamos as duas igualdades de Bézout:
Passo 4
Expandindo o produto, obtemos
Chame
Então a expansão fica
Passo 5
A última igualdade mostra que existe combinação linear inteira de
e
que vale
. Pelo lema de Bézout, isso implica