Em cada caso faça o que se pede.
Avalie \iiint_{T} \rho \cos (\varphi) d V onde T é a esfera de raio 3 centrada na origem usando coordenadas esféricas.
Passo 1
O enunciado pede para avaliar \displaystyle \iiint_{T} \rho \cos(\varphi)\, dV, onde T é a esfera de raio 3 centrada na origem, e quer que se use coordenadas esféricas.
Informações dadas e o que se pede:
A região T é a esfera centrada na origem de raio 3.
A integral a calcular é \displaystyle \iiint_{T} \rho \cos(\varphi)\, dV.
Em coordenadas esféricas os pontos são dados por (\rho,\varphi,\theta) com:
\rho sendo a distância ao origem, 0\le \rho\le 3 (peguei 3 do enunciado),
\varphi sendo o ângulo polar medido a partir do eixo z, 0\le \varphi\le \pi,
\theta sendo o ângulo azimutal no plano xy, 0\le \theta\le 2\pi.
A tarefa: montar a integral em coordenadas esféricas e calcular o valor numérico.
Passo 2
Lembrete sobre coordenadas esféricas e o elemento de volume (aulas rápidas, tipo “cola” para a prova):
Em coordenadas esféricas a relação entre as coordenadas cartesianas e esféricas éx=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.Aqui \rho é a distância radial, \varphi o ângulo a partir do eixo z e \theta o ângulo no plano xy.
O elemento de volume em coordenadas esféricas édV=\rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.Explicação curta do porquê: o fator \rho^{2}\sin\varphi vem do Jacobiano da transformação (é o produto do fator radial \rho^{2} e do fator angular \sin\varphi que aparece ao parametrizar a esfera).
Observação importante sobre a notação: o símbolo \rho no integrando é o mesmo \rho coordenada radial (não é uma densidade separada). Também note que \rho\cos\varphi=z, ou seja, o integrando é exatamente a coordenada z.
Passo 3
Substituindo o integrando e o elemento de volume em esféricas:
O integrando \rho\cos\varphi multiplicado por dV=\rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\,d\varphi\,d\theta vira\rho\cos\varphi\cdot \rho^{2}\sin\varphi = \rho^{3}\sin\varphi\cos\varphi.
Os limites, conforme o Passo 1, são \rho\in[0,3], \varphi\in[0,\pi], \theta\in[0,2\pi]. Logo a integral ficaI=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{3} \rho^{3}\sin\varphi\cos\varphi\; d\rho\, d\varphi\, d\theta.
Passo 4
Fazer as integrais por partes separáveis (a integral se separa porque o integrando é produto de funções de \rho, \varphi e \theta independentemente):
Primeiro note que a integral se separa:I=\left(\int_{0}^{2\pi} d\theta\right)\left(\int_{0}^{3}\rho^{3} d\rho\right)\left(\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\cos\varphi\, d\varphi\right).
Calcular \displaystyle \int_{0}^{\pi}\sin\varphi\cos\varphi\, d\varphi. Faça a substituição simples u=\sin\varphi, então du=\cos\varphi\, d\varphi. Assim\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\cos\varphi\, d\varphi = \int_{u(0)}^{u(\pi)} u\, du = \int_{0}^{0} u\, du = 0,porque u(0)=\sin 0=0 e u(\pi)=\sin\pi=0. Alternativamente, usar \tfrac{1}{2}\sin^{2}\varphi\big|_{0}^{\pi}= \tfrac{1}{2}(0-0)=0.
Como um dos fatores é zero, o produto inteiro é zero:I = 2\pi\cdot \frac{81}{4}\cdot 0 = 0.
Passo 5
Interpretação geométrica (cheque de sanidade, bom para prova): como \rho\cos\varphi=z, a integral original é \displaystyle \iiint_{T} z\, dV. A esfera é simétrica em relação ao plano z=0, e a função z é ímpar em relação a esse plano (valor positivo acima, negativo abaixo). Logo a contribuição acima do plano cancela exatamente a de baixo, dando integral zero — mesma conclusão que obtivemos por cálculo explícito.