Considere as funções vetoriais definidas por:
\mathbf{F}(t)=(\cos t, \sin t, t), \quad \mathbf{G}(t)=\left(t, t^{2}, t^{3}\right), \quad \mathbf{H}(t)=(t, t+1, t+2)
Calcule a seguinte expressão:
\mathbf{F}(t) \cdot \mathbf{G}(t)

Passo 1

O enunciado nos dá as funções vetoriais (peguei todas as expressões do enunciado)
\mathbf{F}(t)=(\cos t,\;\sin t,\;t), \qquad \mathbf{G}(t)=\left(t,\;t^{2},\;t^{3}\right).
A tarefa é calcular a expressão
\mathbf{F}(t)\cdot\mathbf{G}(t).

Passo 2

Vamos lembrar a definição que vamos usar (a parte teórica que você precisa dominar na prova). Para dois vetores em \mathbb{R}^{3}
\mathbf{A}=(A_{1},A_{2},A_{3}),\qquad \mathbf{B}=(B_{1},B_{2},B_{3}),
o produto escalar (dot product) é definido por
\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}.
Isto significa: multiplica-se componente a componente e soma-se os resultados. Exemplo rápido e concreto para fixar: (1,2)\cdot(3,4)=1\cdot3+2\cdot4=11.

Passo 3

Identifico as componentes de \mathbf{F}(t) e \mathbf{G}(t) (isso é obrigatório para aplicar a definição):
\mathbf{F}(t)=(F_{1},F_{2},F_{3})=(\cos t,\;\sin t,\;t),
\mathbf{G}(t)=(G_{1},G_{2},G_{3})=(t,\;t^{2},\;t^{3}).

Passo 4

Aplico a definição do produto escalar somando os produtos das componentes correspondentes. Calculando termo a termo:
primeiro termo:
F_{1}G_{1}=\cos t\cdot t = t\cos t,
segundo termo:
F_{2}G_{2}=\sin t\cdot t^{2} = t^{2}\sin t,
terceiro termo:
F_{3}G_{3}=t\cdot t^{3} = t^{4}.

Passo 5

Somando os três termos obtemos a expressão final do produto escalar:
\mathbf{F}(t)\cdot\mathbf{G}(t)=t\cos t + t^{2}\sin t + t^{4}.
Como dica prática para a prova: muitas vezes é útil fatorar um t comum se for necessário manipular ou simplificar mais:
\mathbf{F}(t)\cdot\mathbf{G}(t)=t\bigl(\cos t + t\sin t + t^{3}\bigr).

Resposta

t\cos t + t^{2}\sin t + t^{4}

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