Considere as funções vetoriais definidas por:
\mathbf{F}(t)=(\cos t, \sin t, t), \quad \mathbf{G}(t)=\left(t, t^{2}, t^{3}\right), \quad \mathbf{H}(t)=(t, t+1, t+2)
Calcule a seguinte expressão:
\mathbf{G}(t)-\mathbf{H}(t)

Passo 1

O enunciado fornece três funções vetoriais (peguei essas expressões do enunciado):
\mathbf{F}(t)=(\cos t,\\ \sin t,\\ t), \qquad \mathbf{G}(t)=\left(t,\\ t^{2},\\ t^{3}\right), \qquad \mathbf{H}(t)=(t,\\ t+1,\\ t+2).
O que é pedido: calcular a expressão \mathbf{G}(t)-\mathbf{H}(t).

Passo 2

Entendendo o que significa subtrair vetores (uma mini-aula rápida e amigável).
Seja um vetor genérico de três componentes \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e outro \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3). A subtração é feita componente a componente, ou seja,
\mathbf{a}-\mathbf{b}=(a_1-b_1,\\ a_2-b_2,\\ a_3-b_3).
Isso significa que para cada posição (primeira, segunda, terceira componente) subtrai-se o número correspondente. É simples: pensa em cada vetor como uma tripa de números alinhados; subtrai-se cada par correspondente.

Passo 3

Aplicando a ideia ao primeiro componente de \mathbf{G}(t)-\mathbf{H}(t).
Primeira componente de \mathbf{G}(t) é t e primeira de \mathbf{H}(t) também é t. Então
\text{1ª componente} = t - t = 0.ª

Passo 4

Agora a segunda componente: a segunda de \mathbf{G}(t) é t^{2} e a segunda de \mathbf{H}(t) é t+1. Subtraindo:
\text{2ª componente} = t^{2} - (t+1).ª
É importante colocar o parêntese para não esquecer o sinal. Simplificando:
t^{2} - (t+1) = t^{2} - t - 1.

Passo 5

Terceira componente: \mathbf{G}(t) tem terceira componente t^{3} e \mathbf{H}(t) tem t+2. Então
\text{3ª componente} = t^{3} - (t+2).ª
Simplificando:
t^{3} - (t+2) = t^{3} - t - 2.

Passo 6

Chegamos aos três resultados parciais (cada um obtido pela subtração componente a componente). Para checar que os cálculos fazem sentido, um teste rápido: escolha um valor simples, por exemplo t=1. Então as componentes seriam:
\text{1ª componente}: 1-1=0,\qquad \text{2ª componente}: 1^{2}-1-1=-1,\qquad \text{3ª componente}: 1^{3}-1-2=-2.ªªª
Esse teste confirma que os sinais e as subtrações foram feitas corretamente (apenas um cheirinho de confirmação — nada de pânico).

Resposta

\mathbf{G}(t)-\mathbf{H}(t)=\left(0,\\ t^{2}-t-1,\\ t^{3}-t-2\right)

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