Em cada caso faça o que se pede.
Calcule a integral tripla \iiint_{S} x y d V onde S é a região delimitada por 0 \leq x \leq 4-y^{2}-z^{2} e y^{2}+z^{2} \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla \iiint_{S} x y \, dV, onde a região S é dada por:
  • 0 \leq x \leq 4 - y^{2} - z^{2},
  • y^{2}+z^{2} \leq 1.
O que se pede explicitamente:
  • Avaliar a integral \displaystyle \iiint_{S} x y \, dV.
Informações relevantes fornecidas:
  • A projeção de S no plano yz é o disco \{(y,z)\mid y^{2}+z^{2}\le 1\}.
  • Para cada ponto (y,z) desse disco, x varia de 0 até 4 - y^{2}-z^{2}.

Passo 2

Escolha do método: há uma observação de simetria que resolve o problema muito rapidamente. Vou explicar essa ideia simples e depois faço a mudança para coordenadas polares no plano yz para mostrar o cálculo detalhado (útil para aprender a técnica).
Argumento por simetria (método rápido):
  • A região S é simétrica em relação ao plano y=0: se (x,y,z)\in S então (x,-y,z)\in S (pois as condições usam y^{2}).
  • A função integranda f(x,y,z)=x y é ímpar em y: isto é, f(x,-y,z)=-f(x,y,z).
  • Assim, para cada ponto (x,y,z) a contribuição x y é cancelada pela contribuição do ponto (x,-y,z).
  • Portanto, a integral sobre toda a região S deve valer zero.
Vou agora mostrar o mesmo resultado fazendo a mudança para coordenadas polares no plano yz, para praticar esse procedimento.

Passo 3

Mudança de variáveis: coordenadas polares no plano yz.
  • Definir
y = r\cos\theta,\qquad z = r\sin\theta,
com r\ge 0 e \theta variando usualmente de 0 a 2\pi.
  • O elemento de volume em coordenadas (x,r,\theta) é
dV = r\, dx\, dr\, d\theta,
porque a transformação (y,z)\mapsto(r,\theta) tem jacobiano r.
  • Limites:
    • Pelo disco y^{2}+z^{2}\le 1 temos 0\le r\le 1 e 0\le \theta\le 2\pi.
    • Para cada (r,\theta), x varia de 0 até 4 - r^{2} (pois y^{2}+z^{2}=r^{2}).

Passo 4

Expressar a integranda em coordenadas (x,r,\theta).
  • A integranda original é x y. Substituindo y=r\cos\theta e multiplicando pelo jacobiano r obtemos o integrando em produto:
x y \, dV = x\cdot (r\cos\theta)\cdot (r\, dx\, dr\, d\theta) = x\, r^{2}\cos\theta\, dx\, dr\, d\theta.

Passo 5

Escrever a integral na nova coordenada com os limites apropriados:
\iiint_{S} x y \, dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}\int_{x=0}^{4-r^{2}} x\, r^{2}\cos\theta \, dx\, dr\, d\theta.

Passo 6

Integração em x (primeira integral interior).
  • Calcular \displaystyle \int_{0}^{4-r^{2}} x \, dx.
\int_{0}^{4-r^{2}} x \, dx = \left.\frac{1}{2}x^{2}\right|_{0}^{4-r^{2}} = \frac{1}{2}(4-r^{2})^{2}.
  • Substituindo, a integral fica
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r^{2}\cos\theta \cdot \frac{1}{2}(4-r^{2})^{2}\, dr\, d\theta.

Passo 7

Integração em \theta e conclusão.
  • A expressão neste ponto é um produto de uma parte que depende só de r e do fator \cos\theta. Logo podemos separar:
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\, d\theta \cdot \int_{0}^{1} \frac{1}{2} r^{2}(4-r^{2})^{2}\, dr.
  • Mas
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\, d\theta = \left.\sin\theta\right|_{0}^{2\pi} = 0.
  • Como esse fator angular é zero, toda a integral tripla vale zero, independentemente do valor da integral em r.

Passo 8

Interpretação final e dica para a prova.
  • Resultado final zero, compatível com o argumento por simetria do Passo 2 (método mais rápido em prova).
  • Dica prática: sempre que a região for simétrica em relação a uma coordenada e a integranda for ímpar nessa coordenada, a integral costuma ser zero — isso economiza tempo.

Resposta

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