Em cada caso faça o que se pede.
Calcule a integral tripla \iiint_{S} x y d V onde S é a região delimitada por 0 \leq x \leq 4-y^{2}-z^{2} e y^{2}+z^{2} \leq 1.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla \iiint_{S} x y \, dV, onde a região S é dada por:
0 \leq x \leq 4 - y^{2} - z^{2},
y^{2}+z^{2} \leq 1.
O que se pede explicitamente:
Avaliar a integral \displaystyle \iiint_{S} x y \, dV.
Informações relevantes fornecidas:
A projeção de S no plano yz é o disco \{(y,z)\mid y^{2}+z^{2}\le 1\}.
Para cada ponto (y,z) desse disco, x varia de 0 até 4 - y^{2}-z^{2}.
Passo 2
Escolha do método: há uma observação de simetria que resolve o problema muito rapidamente. Vou explicar essa ideia simples e depois faço a mudança para coordenadas polares no plano yz para mostrar o cálculo detalhado (útil para aprender a técnica).
Argumento por simetria (método rápido):
A região S é simétrica em relação ao plano y=0: se (x,y,z)\in S então (x,-y,z)\in S (pois as condições usam y^{2}).
A função integranda f(x,y,z)=x y é ímpar em y: isto é, f(x,-y,z)=-f(x,y,z).
Assim, para cada ponto (x,y,z) a contribuição x y é cancelada pela contribuição do ponto (x,-y,z).
Portanto, a integral sobre toda a região S deve valer zero.
Vou agora mostrar o mesmo resultado fazendo a mudança para coordenadas polares no plano yz, para praticar esse procedimento.
Passo 3
Mudança de variáveis: coordenadas polares no plano yz.
Definir
y = r\cos\theta,\qquad z = r\sin\theta,
com r\ge 0 e \theta variando usualmente de 0 a 2\pi.
O elemento de volume em coordenadas (x,r,\theta) é
dV = r\, dx\, dr\, d\theta,
porque a transformação (y,z)\mapsto(r,\theta) tem jacobiano r.
Limites:
Pelo disco y^{2}+z^{2}\le 1 temos 0\le r\le 1 e 0\le \theta\le 2\pi.
Para cada (r,\theta), x varia de 0 até 4 - r^{2} (pois y^{2}+z^{2}=r^{2}).
Passo 4
Expressar a integranda em coordenadas (x,r,\theta).
A integranda original é x y. Substituindo y=r\cos\theta e multiplicando pelo jacobiano r obtemos o integrando em produto:
x y \, dV = x\cdot (r\cos\theta)\cdot (r\, dx\, dr\, d\theta) = x\, r^{2}\cos\theta\, dx\, dr\, d\theta.
Passo 5
Escrever a integral na nova coordenada com os limites apropriados:
\iiint_{S} x y \, dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}\int_{x=0}^{4-r^{2}} x\, r^{2}\cos\theta \, dx\, dr\, d\theta.
Passo 6
Integração em x (primeira integral interior).
Calcular \displaystyle \int_{0}^{4-r^{2}} x \, dx.
\int_{0}^{4-r^{2}} x \, dx = \left.\frac{1}{2}x^{2}\right|_{0}^{4-r^{2}} = \frac{1}{2}(4-r^{2})^{2}.
Como esse fator angular é zero, toda a integral tripla vale zero, independentemente do valor da integral em r.
Passo 8
Interpretação final e dica para a prova.
Resultado final zero, compatível com o argumento por simetria do Passo 2 (método mais rápido em prova).
Dica prática: sempre que a região for simétrica em relação a uma coordenada e a integranda for ímpar nessa coordenada, a integral costuma ser zero — isso economiza tempo.