Em cada caso faça o que se pede.
Avalie \iiint_{S} x d V onde S é a região delimitada por 0 \leq x \leq 1-y^{2}-z^{2} e y^{2}+z^{2} \leq 1.
Passo 1
O que o enunciado pede: avaliar \displaystyle \iiint_{S} x\,dV.
Informações dadas (extraídas do enunciado):
A região S é descrita por0 \leq x \leq 1 - y^{2} - z^{2}, \qquad y^{2}+z^{2} \leq 1.
Ou seja, para cada ponto (y,z) dentro do disco de raio 1 no plano yz, a coordenada x varia entre 0 e 1-y^{2}-z^{2}.
Passo 2
Interpretação geométrica da região S (útil para escolher coordenadas):
A desigualdade y^{2}+z^{2}\leq 1 representa um disco de raio 1 no plano yz.
A superfície x=1-y^{2}-z^{2} é uma parábola (paraboloide) com vértice em (x,y,z)=(1,0,0). Onde ela cruza o plano x=0 tem y^{2}+z^{2}=1.
Portanto S é o sólido que fica entre o plano x=0 (base) e o paraboloide x=1-y^{2}-z^{2}, sobre o disco y^{2}+z^{2}\leq1.
Passo 3
Escolha de coordenadas e justificativa:
Como a região é circular no plano yz, faz todo sentido usar coordenadas cilíndricas “adaptadas” ao eixo x: definiry = r\cos\theta,\qquad z = r\sin\theta,\qquad x = x,onde r\ge 0 e \theta\in[0,2\pi).
Neste sistema o elemento de volume valedV = r\,dr\,d\theta\,dx.(Isso é o jacobiano da transformação: comprime/estica as áreas no plano yz por um fator r.)
A condição y^{2}+z^{2}\le 1 vira r^{2}\le 1, ou seja 0\le r\le 1.
A superfície x=1-y^{2}-z^{2} vira x=1-r^{2}.
Logo os limites são0\le \theta\le 2\pi,\qquad 0\le r\le 1,\qquad 0\le x\le 1-r^{2}.
Passo 4
Escrever a integral na nova coordenada:
Substituindo tudo, a integral fica\iiint_{S} x\,dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}\int_{x=0}^{1-r^{2}} x\cdot r\,dx\,dr\,d\theta.(Aqui x permanece como variável de integração e r aparece no jacobiano.)
Passo 5
Calcular a integral mais interna (em x):
Primeiro calcule\int_{x=0}^{1-r^{2}} x\,dx =\left.\tfrac{1}{2}x^{2}\right|_{0}^{1-r^{2}} =\tfrac{1}{2}(1-r^{2})^{2}.
Multiplicando pelo fator r que estava junto, obtemos para a integral sobre r e \theta:\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1} r\cdot \tfrac{1}{2}(1-r^{2})^{2}\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} \tfrac{1}{2}\bigl(r(1-r^{2})^{2}\bigr)\,dr\,d\theta.
Integre termo a termo em r de 0 a 1:\int_{0}^{1} \tfrac{1}{2}\bigl(r-2r^{3}+r^{5}\bigr)\,dr = \tfrac{1}{2}\left[\tfrac{1}{2}r^{2}-\tfrac{2}{4}r^{4}+\tfrac{1}{6}r^{6}\right]_{0}^{1}.
Avaliando em r=1 e r=0:\tfrac{1}{2}\left(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{6}\right) = \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{12}.
Passo 7
Integração final em \theta e conclusão:
A integral restante é\int_{0}^{2\pi} \tfrac{1}{12}\,d\theta = \tfrac{1}{12}\cdot(2\pi) = \tfrac{\pi}{6}.
Portanto o valor da integral tripla é \dfrac{\pi}{6}.