Em cada caso faça o que se pede.
Avalie \iiint_{S} x d V onde S é a região delimitada por 0 \leq x \leq 1-y^{2}-z^{2} e y^{2}+z^{2} \leq 1.

Passo 1

O que o enunciado pede: avaliar \displaystyle \iiint_{S} x\,dV.
Informações dadas (extraídas do enunciado):
  • A região S é descrita por 0 \leq x \leq 1 - y^{2} - z^{2}, \qquad y^{2}+z^{2} \leq 1.
  • Ou seja, para cada ponto (y,z) dentro do disco de raio 1 no plano yz, a coordenada x varia entre 0 e 1-y^{2}-z^{2}.

Passo 2

Interpretação geométrica da região S (útil para escolher coordenadas):
  • A desigualdade y^{2}+z^{2}\leq 1 representa um disco de raio 1 no plano yz.
  • A superfície x=1-y^{2}-z^{2} é uma parábola (paraboloide) com vértice em (x,y,z)=(1,0,0). Onde ela cruza o plano x=0 tem y^{2}+z^{2}=1.
  • Portanto S é o sólido que fica entre o plano x=0 (base) e o paraboloide x=1-y^{2}-z^{2}, sobre o disco y^{2}+z^{2}\leq1.

Passo 3

Escolha de coordenadas e justificativa:
  • Como a região é circular no plano yz, faz todo sentido usar coordenadas cilíndricas “adaptadas” ao eixo x: definir y = r\cos\theta,\qquad z = r\sin\theta,\qquad x = x,onde r\ge 0 e \theta\in[0,2\pi).
  • Neste sistema o elemento de volume vale dV = r\,dr\,d\theta\,dx.(Isso é o jacobiano da transformação: comprime/estica as áreas no plano yz por um fator r.)
  • A condição y^{2}+z^{2}\le 1 vira r^{2}\le 1, ou seja 0\le r\le 1.
  • A superfície x=1-y^{2}-z^{2} vira x=1-r^{2}.
  • Logo os limites são 0\le \theta\le 2\pi,\qquad 0\le r\le 1,\qquad 0\le x\le 1-r^{2}.

Passo 4

Escrever a integral na nova coordenada:
  • Substituindo tudo, a integral fica \iiint_{S} x\,dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}\int_{x=0}^{1-r^{2}} x\cdot r\,dx\,dr\,d\theta.(Aqui x permanece como variável de integração e r aparece no jacobiano.)

Passo 5

Calcular a integral mais interna (em x):
  • Primeiro calcule \int_{x=0}^{1-r^{2}} x\,dx =\left.\tfrac{1}{2}x^{2}\right|_{0}^{1-r^{2}} =\tfrac{1}{2}(1-r^{2})^{2}.
  • Multiplicando pelo fator r que estava junto, obtemos para a integral sobre r e \theta: \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1} r\cdot \tfrac{1}{2}(1-r^{2})^{2}\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} \tfrac{1}{2}\bigl(r(1-r^{2})^{2}\bigr)\,dr\,d\theta.

Passo 6

Expansão e integração em r:
  • Expanda (1-r^{2})^{2}=1-2r^{2}+r^{4}. Logo \tfrac{1}{2}r(1-r^{2})^{2} = \tfrac{1}{2}\bigl(r-2r^{3}+r^{5}\bigr).
  • Integre termo a termo em r de 0 a 1: \int_{0}^{1} \tfrac{1}{2}\bigl(r-2r^{3}+r^{5}\bigr)\,dr = \tfrac{1}{2}\left[\tfrac{1}{2}r^{2}-\tfrac{2}{4}r^{4}+\tfrac{1}{6}r^{6}\right]_{0}^{1}.
  • Avaliando em r=1 e r=0: \tfrac{1}{2}\left(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{6}\right) = \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{12}.

Passo 7

Integração final em \theta e conclusão:
  • A integral restante é \int_{0}^{2\pi} \tfrac{1}{12}\,d\theta = \tfrac{1}{12}\cdot(2\pi) = \tfrac{\pi}{6}.
  • Portanto o valor da integral tripla é \dfrac{\pi}{6}.

Resposta

\dfrac{\pi}{6}

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