Em cada caso faça o que se pede.
Encontre
onde
é a região delimitada por
e
.
Encontre
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado pede calcular a integral tripla
. - A região
é dada por duas condições: -
. -
.
-
- Assim, para cada ponto
no disco do plano de raio , a coordenada varia de até .
Resumo útil (pegar estas informações do enunciado):
- Projeção de
no plano é o disco . - Para cada
desse disco, . - O integrando é
.
Passo 2
Observação estratégica: qual método usar?
- Há duas maneiras naturais aqui:
- Usar simetria do integrando e da região para concluir rapidamente que a integral é zero.
- Fazer a troca para coordenadas polares no plano
(isto é, usar para ) e calcular explicitamente.
Vou explicar e aplicar primeiro o argumento por simetria (mais simples), depois fazer a mudança para coordenadas polares para mostrar o cálculo direto e ensinar como proceder em provas quando não for óbvio por simetria.
Passo 3
Argumento por simetria (cuidado: passo didático e rápido).
- Note que a região projetada no plano
, o disco , é simétrica em relação ao eixo (ou seja, se pertence, então também pertence) e também em relação a . - O integrando é a função
. Se for feita a reflexão (mantendo fixos), o integrando muda de sinal: . - Como a projeção no plano
é simétrica por e os limites em dependem só de (ou seja, são os mesmos para e ), os contributions de pontos e para a integral se cancelam. - Portanto, pela simetria, a integral tripla deve ser igual a
.
Isso já responde o problema, mas abaixo faço o cálculo em coordenadas polares para mostrar o procedimento mecânico e ensinar a técnica.
Passo 4
Mudança para coordenadas polares no plano
— explicação da técnica.
- Vamos parametrizar o plano
com coordenadas polares padrão: onde e . - Aqui
e é o ângulo no plano . - O elemento de área no plano
transforma como . Isso vem do jacobiano da transformação polar: a pequena área vale aproximadamente . - O elemento de volume é
. - O integrando
em termos de vira
Passo 5
Montando a integral em coordenadas polares e calculando.
- Os limites em
e são: (porque ) e . - Para cada
, varia de até (peguei isso de ). - A integral fica, então:
- Reorganizando fatores (o fator
do jacobiano multiplica do integrando): - Integramos em
primeiro (é só multiplicar por o comprimento do intervalo em , que é ): Então - Agora observe a integração em
. Use a identidade trigonométrica Assim o fator angular é proporcional a , cuja integral em é zero: - Como o fator radial
não depende de , o produto integra para zero:
Passo 6
Comentário final e incentivo.
- Portanto, tanto pelo argumento de simetria quanto pelo cálculo em coordenadas polares o resultado é o mesmo: a integral vale
. - Bom trabalho! Quando vir um integrando que muda de sinal sob reflexão e a região for simétrica, a simetria costuma ser o caminho mais rápido na prova — mas saber montar e calcular em coordenadas polares dá segurança caso a simetria não seja tão evidente.
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