Em cada caso faça o que se pede.
Avalie \iiint_{T} e^{y} d V onde T é a região delimitada por 0 \leq y \leq 1-x^{2}-z^{2} e x^{2}+z^{2} \leq 1.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
A região T é descrita por duas condições:
0 \leq y \leq 1 - x^{2} - z^{2}.
x^{2} + z^{2} \leq 1.
O objetivo é calcular a integral tripla
\iiint_{T} e^{y}\,dV.
Informações importantes extraídas do enunciado:
A desigualdade x^{2}+z^{2}\leq 1 descreve um disco de raio 1 no plano xz.
A equação y=1-x^{2}-z^{2} é uma superfície paraboloide que, junto com y=0, limita a região verticalmente acima do disco.
O integrando é e^{y}, que depende apenas de y.
Passo 2
Escolha coordenadas e justificativa.
Observando que a região em x e z é um disco (x^{2}+z^{2}\le 1), é natural usar coordenadas cilíndricas (mais precisamente: usar r,\theta para as variáveis x,z e manter y como está). Isso simplifica muito os limites e o jacobiano introduz um fator r que combina bem com x^{2}+z^{2}=r^{2}.
Troca de variáveis:
x = r\cos\theta,\qquad z = r\sin\theta,\qquad y = y.
O jacobiano da transformação para as coordenadas (r,\theta,y) é r, de modo que dV = r\,dr\,d\theta\,dy.
Limites nas novas coordenadas:
Para \theta: 0 \le \theta \le 2\pi (cobre todo o disco).
Para r: 0 \le r \le 1 (raio do disco).
Para y: 0 \le y \le 1 - r^{2} (pois x^{2}+z^{2}=r^{2}).
Passo 3
Escrever a integral tripla em coordenadas escolhidas.
Substituindo x,z por r,\theta e dV por r\,dr\,d\theta\,dy, a integral vira
Observação didática rápida: como o integrando e^{y} não depende de r nem de \theta, a ordem natural é primeiro integrar em y, depois em r e por último em \theta. Isso evita complicações e explora a separação de variáveis.
Podemos separar a integral em \theta e a integral em r:
\int_{0}^{2\pi} d\theta \cdot \int_{0}^{1} \bigl(e^{1-r^{2}} - 1\bigr) r\, dr = 2\pi \int_{0}^{1} \bigl(e^{1-r^{2}} - 1\bigr) r\, dr.
Dividir a integral em duas partes:
\int_{0}^{1} r e^{1-r^{2}}\, dr \quad\text{e}\quad \int_{0}^{1} r\, dr.
Calcular a primeira com substituição: faça u = 1 - r^{2}. Então du = -2r\,dr, ou seja r\,dr = -\tfrac{1}{2}\,du.
Quando r=0, u=1.
Quando r=1, u=0.
Assim
\int_{0}^{1} r e^{1-r^{2}}\, dr = \int_{u=1}^{0} e^{u}\left(-\tfrac{1}{2}\,du\right) = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{u}\, du = \tfrac{1}{2}\bigl(e^{1}-e^{0}\bigr) = \tfrac{1}{2}\bigl(e-1\bigr).
Calcular a segunda integral simples:
\int_{0}^{1} r\, dr = \left.\tfrac{r^{2}}{2}\right|_{0}^{1} = \tfrac{1}{2}.
Finalizar a integral multiplicando pelo fator de \theta.
Multiplicando por 2\pi obtemos o valor total:
\iiint_{T} e^{y}\, dV = 2\pi \cdot \tfrac{1}{2}\bigl(e-2\bigr) = \pi\bigl(e-2\bigr).
Breve comentário de reforço: a chave aqui foi perceber a simetria circular no plano xz e usar coordenadas polares para esse plano (ou cilíndricas no espaço). Isso transformou o problema em integrais simples que dá para fazer de cabeça numa prova: integrar e^{y} em y, depois usar a substituição u=1-r^{2} para a parte em r.