Em cada caso faça o que se pede.
Encontre \iiint_{W} r d r d \theta d z onde W é o cilindro de raio 1 e altura 2 usando coordenadas cilíndricas.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{W} r\,dr\,d\theta\,dz
onde W é um cilindro de raio 1 e altura 2, usando coordenadas cilíndricas. Informações dadas:
  • raio do cilindro: 1;
  • altura do cilindro: 2.
    Vou assumir a posição usual do cilindro com as bases paralelas ao plano xy e com z variando de 0 a 2 (ou seja, 0\le z\le2). O enunciado pede apenas o valor numérico da integral sobre esse domínio W.

Passo 2

Lembrando as coordenadas cilíndricas: os pontos em \mathbb{R}^3 são descritos por (r,\theta,z) com
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z,
onde r\ge0 é a distância radial no plano xy, \theta é o ângulo polar e z é a altura. Uma coisa essencial: ao mudar de (x,y,z) para (r,\theta,z) o elemento de volume não é simplesmente dr\,d\theta\,dz; aparece um fator Jacobiano igual a r. Ou seja, o elemento de volume é
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Breve justificativa (intuitiva): pequenos retângulos em coordenadas polares têm área aproximada r\,d r\,d\theta porque o arco correspondente ao ângulo d\theta tem comprimento r\,d\theta. Esse fator r é o que chamamos de Jacobiano.

Passo 3

No enunciado a função integranda é a coordenada radial r. Portanto, ao escrever a integral em coordenadas cilíndricas devemos multiplicar pela jacobiana r. O integrando total fica r\cdot r = r^2.
Os limites para o cilindro de raio 1 e altura 2 (com 0\le z\le2) são:
0\le r\le 1,\qquad 0\le \theta\le 2\pi,\qquad 0\le z\le 2.
A integral fica então
\iiint_{W} r\,dr\,d\theta\,dz = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{z=0}^{2}\int_{r=0}^{1} r^2\,dr\,dz\,d\theta.

Passo 4

Calculo das integrais em ordem (de dentro para fora).
Integral em r:
\int_{0}^{1} r^2\,dr = \left.\frac{r^3}{3}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{3}.
Multiplicando pelo integral em z:
\int_{0}^{2} \frac{1}{3}\,dz = \frac{1}{3}\cdot\left.(z)\right|_{0}^{2}=\frac{1}{3}\cdot 2=\frac{2}{3}.
Por fim, integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi} \frac{2}{3}\,d\theta = \frac{2}{3}\cdot\left.\theta\right|_{0}^{2\pi}=\frac{2}{3}\cdot 2\pi=\frac{4\pi}{3}.

Passo 5

Resumo intuitivo: a função que estamos somando em cada ponto é r (distância ao eixo), mas cada “pedaço” de volume em cilíndricas já carrega um fator r. Por isso a integral reduz-se a integrar r^2 no cilindro com r\in[0,1], z\in[0,2], \theta\in[0,2\pi], e o resultado final é \tfrac{4\pi}{3}. Força aí — você já fez a parte mais chata!

Resposta

\dfrac{4\pi}{3}

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