Em cada caso faça o que se pede.
Avalie \iiint_{T} e^{y} d V onde T é a região delimitada por 0 \leq y \leq 1-x^{2}-z^{2} e x^{2}+z^{2} \leq 1.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • A região T é descrita por duas condições:
    • 0 \leq y \leq 1 - x^{2} - z^{2}.
    • x^{2} + z^{2} \leq 1.
  • O objetivo é calcular a integral tripla
    \iiint_{T} e^{y}\,dV.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A desigualdade x^{2}+z^{2}\leq 1 descreve um disco de raio 1 no plano xz.
  • A equação y=1-x^{2}-z^{2} é uma superfície paraboloide que, junto com y=0, limita a região verticalmente acima do disco.
  • O integrando é e^{y}, que depende apenas de y.

Passo 2

Escolha coordenadas e justificativa.
  • Observando que a região em x e z é um disco ( x^{2}+z^{2}\le 1), é natural usar coordenadas cilíndricas (mais precisamente: usar r,\theta para as variáveis x,z e manter y como está). Isso simplifica muito os limites e o jacobiano introduz um fator r que combina bem com x^{2}+z^{2}=r^{2}.
  • Troca de variáveis:
    x = r\cos\theta,\qquad z = r\sin\theta,\qquad y = y.
    O jacobiano da transformação para as coordenadas (r,\theta,y) é r, de modo que dV = r\,dr\,d\theta\,dy.
  • Limites nas novas coordenadas:
    • Para \theta: 0 \le \theta \le 2\pi (cobre todo o disco).
    • Para r: 0 \le r \le 1 (raio do disco).
    • Para y: 0 \le y \le 1 - r^{2} (pois x^{2}+z^{2}=r^{2}).

Passo 3

Escrever a integral tripla em coordenadas escolhidas.
  • Substituindo x,z por r,\theta e dV por r\,dr\,d\theta\,dy, a integral vira
    \iiint_{T} e^{y}\,dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}\int_{y=0}^{1-r^{2}} e^{y}\, r\, dy\,dr\,d\theta.
  • Observação didática rápida: como o integrando e^{y} não depende de r nem de \theta, a ordem natural é primeiro integrar em y, depois em r e por último em \theta. Isso evita complicações e explora a separação de variáveis.

Passo 4

Calcular a integral interna em y.
  • Calcule
    \int_{y=0}^{1-r^{2}} e^{y}\, dy.
    A primitiva de e^{y} é e^{y}. Logo
    \int_{0}^{1-r^{2}} e^{y}\, dy = e^{1-r^{2}} - e^{0} = e^{1-r^{2}} - 1.
  • Substituindo isso na integral, obtemos
    \iiint_{T} e^{y}\,dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} \bigl(e^{1-r^{2}} - 1\bigr)\, r\, dr\, d\theta.

Passo 5

Separar e calcular as integrais em r e \theta.
  • Podemos separar a integral em \theta e a integral em r:
    \int_{0}^{2\pi} d\theta \cdot \int_{0}^{1} \bigl(e^{1-r^{2}} - 1\bigr) r\, dr = 2\pi \int_{0}^{1} \bigl(e^{1-r^{2}} - 1\bigr) r\, dr.
  • Dividir a integral em duas partes:
    \int_{0}^{1} r e^{1-r^{2}}\, dr \quad\text{e}\quad \int_{0}^{1} r\, dr.
  • Calcular a primeira com substituição: faça u = 1 - r^{2}. Então du = -2r\,dr, ou seja r\,dr = -\tfrac{1}{2}\,du.
    • Quando r=0, u=1.
    • Quando r=1, u=0.
      Assim
    \int_{0}^{1} r e^{1-r^{2}}\, dr = \int_{u=1}^{0} e^{u}\left(-\tfrac{1}{2}\,du\right) = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{u}\, du = \tfrac{1}{2}\bigl(e^{1}-e^{0}\bigr) = \tfrac{1}{2}\bigl(e-1\bigr).
  • Calcular a segunda integral simples:
    \int_{0}^{1} r\, dr = \left.\tfrac{r^{2}}{2}\right|_{0}^{1} = \tfrac{1}{2}.
  • Portanto
    \int_{0}^{1} \bigl(e^{1-r^{2}} - 1\bigr) r\, dr = \tfrac{1}{2}\bigl(e-1\bigr) - \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2}\bigl(e-2\bigr).

Passo 6

Finalizar a integral multiplicando pelo fator de \theta.
  • Multiplicando por 2\pi obtemos o valor total:
    \iiint_{T} e^{y}\, dV = 2\pi \cdot \tfrac{1}{2}\bigl(e-2\bigr) = \pi\bigl(e-2\bigr).
  • Breve comentário de reforço: a chave aqui foi perceber a simetria circular no plano xz e usar coordenadas polares para esse plano (ou cilíndricas no espaço). Isso transformou o problema em integrais simples que dá para fazer de cabeça numa prova: integrar e^{y} em y, depois usar a substituição u=1-r^{2} para a parte em r.

Resposta

\pi\bigl(e-2\bigr)

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