Em cada caso faça o que se pede.
Calcule
onde
é a região delimitada por
e
.
Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular o volume
onde a região
é dada por duas condições (essas são as informações do problema):
-
. -
.
As perguntas que o enunciado faz:
- Calcular o valor numérico do volume
da região .
Passo 2
Entender a forma da região
(descrição geométrica).
- A desigualdade
descreve um cilindro circular reto com eixo paralelo ao eixo , raio (porque ) e infinito ao longo de , mas aqui o está limitado pela outra desigualdade. - A desigualdade
diz que, para cada ponto dentro do disco de raio , o varia desde até a superfície .
Portanto
é o sólido obtido tomando, para cada
dentro do disco de raio
, o segmento em
de comprimento
. Visualizar assim ajuda a escolher coordenadas adequadas.
Passo 3
Escolha de coordenadas e justificativa (sem pular passos).
- Como as equações envolvem apenas
, faz sentido usar coordenadas polares no plano . Ou seja, definir
com
e
variando de
a
.
- Em termos dessas variáveis,
. A condição do disco torna-se . - Em mudança de variáveis do par
para , o elemento de área transforma-se em . Isso é crucial: o fator é o jacobiano da transformação polar e representa a expansão/dilatação dos elementos de área quando se vai para coordenadas polares. Uma maneira intuitiva de ver isso é que um pequeno retângulo em tem área aproximada .
Passo 4
Escrever o elemento de volume e os limites corretos.
- O volume elementar em coordenadas
é
- Os limites são:
-
varia de a (cobre todo o disco em ); -
varia de a (porque ); - para cada
, varia de até (peguei a expressão do enunciado e substituí ).
-
Portanto o integral triplo fica
Passo 5
Calcular a integral interna (integração em
).
- A integral interna em
é simples porque integrando em relação a com tratado como constante dá um fator :
Assim o integral reduz para
Passo 6
Calcular a integral em
com explicação passo a passo.
- Primeiro expandir o integrando:
- Integrar termo a termo em
:
- Avaliar em
:
Logo
Passo 7
Calcular a integral em
e concluir.
- Agora resta integrar em
:
- Portanto o volume do sólido
é .
Se estiver nervoso para a prova: lembre que o passo-chave é reconhecer a simetria em
e usar coordenadas polares no plano
; depois a integral em
normalmente é direta. Você fez direitinho em seguir cada limite — bom trabalho (mesmo que eu tenha feito a conta aqui para você)!