En cada caso, hallar la matriz \mathbf{X} tal que sea solución de la ecuación matricial: (Resolver al menos DOS de los tres ítems que se presentan a continuación)
3 \mathbf{A}+\mathbf{X}=2 \mathbf{B}-\mathbf{C}, siendo \mathbf{A}=\left[\begin{array}{rrr}-1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 5 & -3\end{array}\right], \mathbf{B}=\left[\begin{array}{rrr}4 & -2 & 1 \\\\ 3 & 0 & -4\end{array}\right], \mathbf{C}=\left[\begin{array}{rrr}0 & 2 & 4 \\\\ -1 & 0 & 5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a equação matricial
3\mathbf{A}+\mathbf{X}=2\mathbf{B}-\mathbf{C}
e fornece as matrizes
\mathbf{A}=\begin{bmatrix}-1 & 2 & 3 \\[4pt] 0 & 5 & -3\end{bmatrix},\qquad \mathbf{B}=\begin{bmatrix}4 & -2 & 1 \\[4pt] 3 & 0 & -4\end{bmatrix},\qquad \mathbf{C}=\begin{bmatrix}0 & 2 & 4 \\[4pt] -1 & 0 & 5\end{bmatrix}.
O que se pede: encontrar a matriz \mathbf{X} que satisfaça a equação acima.]

Passo 2

Primeiro, faço a manipulação algébrica da equação para isolar \mathbf{X}. Como somas e subtrações de matrizes são realizadas entrada a entrada e existe elemento neutro e inverso aditivo, basta subtrair 3\mathbf{A} dos dois lados:
\mathbf{X}=2\mathbf{B}-\mathbf{C}-3\mathbf{A}.
Explicando a ideia (passo a passo): tirar 3\mathbf{A} do lado esquerdo é o mesmo que somar o oposto de 3\mathbf{A} ao lado direito; portanto obtemos a expressão acima. Agora vamos calcular cada termo à direita.

Passo 3

Calcular 3\mathbf{A} (multiplicação escalar: multiplicar cada entrada de \mathbf{A} por 3):
3\mathbf{A} = 3\begin{bmatrix}-1 & 2 & 3 \\[4pt] 0 & 5 & -3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3\cdot(-1) & 3\cdot 2 & 3\cdot 3 \\[4pt] 3\cdot 0 & 3\cdot 5 & 3\cdot(-3)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-3 & 6 & 9 \\[4pt] 0 & 15 & -9\end{bmatrix}.]

Passo 4

Calcular 2\mathbf{B} (multiplicação escalar de \mathbf{B} por 2):
2\mathbf{B} = 2\begin{bmatrix}4 & -2 & 1 \\[4pt] 3 & 0 & -4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}8 & -4 & 2 \\[4pt] 6 & 0 & -8\end{bmatrix}.]

Passo 5

Calcular 2\mathbf{B}-\mathbf{C} (subtração entrada a entrada; estou usando as entradas de \mathbf{C} fornecidas no enunciado):
2\mathbf{B}-\mathbf{C} = \begin{bmatrix}8 & -4 & 2 \\[4pt] 6 & 0 & -8\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}0 & 2 & 4 \\[4pt] -1 & 0 & 5\end{bmatrix}.
Fazendo a subtração entrada a entrada:
  • primeira linha: 8-0=8, -4-2=-6, 2-4=-2;
  • segunda linha: 6-(-1)=7, 0-0=0, -8-5=-13.
    Logo
2\mathbf{B}-\mathbf{C}=\begin{bmatrix}8 & -6 & -2 \\[4pt] 7 & 0 & -13\end{bmatrix}.]

Passo 6

Agora calculo \mathbf{X}=(2\mathbf{B}-\mathbf{C})-3\mathbf{A}. Subtraio matriz \;3\mathbf{A}=\begin{bmatrix}-3 & 6 & 9 \\[4pt] 0 & 15 & -9\end{bmatrix}\; da matriz que acabamos de encontrar:
\mathbf{X}= \begin{bmatrix}8 & -6 & -2 \\[4pt] 7 & 0 & -13\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}-3 & 6 & 9 \\[4pt] 0 & 15 & -9\end{bmatrix}.
Subtração entrada a entrada:
  • primeira linha:
    • 8-(-3)=8+3=11,
    • -6-6=-12,
    • -2-9=-11.
  • segunda linha:
    • 7-0=7,
    • 0-15=-15,
    • -13-(-9)=-13+9=-4.
      Portanto
\mathbf{X}=\begin{bmatrix}11 & -12 & -11 \\[4pt] 7 & -15 & -4\end{bmatrix}.]

Passo 7

(Faço uma checagem rápida somando 3\mathbf{A} a \mathbf{X} para ver se volta 2\mathbf{B}-\mathbf{C}.)
3\mathbf{A}+\mathbf{X}= \begin{bmatrix}-3 & 6 & 9 \\[4pt] 0 & 15 & -9\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}11 & -12 & -11 \\[4pt] 7 & -15 & -4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}8 & -6 & -2 \\[4pt] 7 & 0 & -13\end{bmatrix},
que coincide com 2\mathbf{B}-\mathbf{C} calculado antes — portanto está correto. Força e segue firme, você conseguiu!]

Resposta

\begin{bmatrix}11 & -12 & -11 \\[4pt] 7 & -15 & -4\end{bmatrix}]

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