Determine a posição relativa entre as retas: r:\left\{\begin{array}{l}x=1+2 k \\\ y=2+k\end{array}, k \in \mathbb{R}\right. e s: X=(3,3,0)+\lambda(-4,-2,6), \lambda \in \mathbb{R}.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a posição relativa entre as retas r e s.
As informações fornecidas são:
r:\left\{\begin{array}{l}x=1+2k\\[2pt] y=2+k\end{array},\; k\in\mathbb{R}\right.. O enunciado não informa z; vou assumir que r está em \mathbb{R}^3 com coordenada z=0 para todos os pontos (esta é a interpretação padrão quando só dão x e y e o outro exemplo está em \mathbb{R}^3).
Pergunta explícita: as retas são paralelas, concorrentes (se intersectam) ou reversas (espaçadas / skew)? Se intersectam, encontrar o ponto de interseção.]
Passo 2
Escrevendo as retas em forma vetorial parametrizada (em \mathbb{R}^3) para ficar claro:
Para r, usando a hipótese z=0, cada ponto tem coordenadas
Aqui \bigl(3,3,0\bigr) é um ponto de s e \bigl(-4,-2,6\bigr) é o vetor diretor de s.
Vou ensinar um pouco sobre a ideia: duas retas no espaço podem ser
paralelas: os vetores diretores são múltiplos escalares (linearmente dependentes) e não se interceptam (ou coincidentes),
concorrentes (intersectam): existe um par de parâmetros que dá o mesmo ponto em ambas as retas,
reversas (skew): não são paralelas e não se interceptam.
Para decidir, primeiro verifia-se se os vetores diretores são múltiplos. Se não forem, tenta-se resolver o sistema que iguala as coordenadas para ver se há interseção.
Verificação de paralelismo: para v_s ser múltiplo de v_r deveria existir \mu tal que
(-4,-2,6)=\mu(2,1,0).
Isso implica nas três igualdades
-4=2\mu,\quad -2=1\mu,\quad 6=0\cdot\mu.
Da segunda igualdade \mu=-2. Da primeira, com \mu=-2, temos -4=2(-2) que é verdadeira; porém a terceira dá 6=0, o que é impossível. Logo não existe \mu que satisfaça todas as componentes — os vetores não são múltiplos. Conclusão: as retas não são paralelas.
Passo 4
Agora testamos interseção: procuramos k e \lambda tais que
que é verdadeira. Portanto existe solução consistente (k,\lambda)=(1,0).
Passo 6
Como existe (k,\lambda) que satisfaz todas as coordenadas, as retas intersectam-se. O ponto de interseção é obtido substituindo k=1 (ou \lambda=0) em qualquer expressão de ponto: