Determine a posição relativa entre as retas: r:\left\{\begin{array}{l}x=1+2 k \\\ y=2+k\end{array}, k \in \mathbb{R}\right. e s: X=(3,3,0)+\lambda(-4,-2,6), \lambda \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a posição relativa entre as retas r e s.
As informações fornecidas são:
  • r:\left\{\begin{array}{l}x=1+2k\\[2pt] y=2+k\end{array},\; k\in\mathbb{R}\right.. O enunciado não informa z; vou assumir que r está em \mathbb{R}^3 com coordenada z=0 para todos os pontos (esta é a interpretação padrão quando só dão x e y e o outro exemplo está em \mathbb{R}^3).
  • s:\;X=(3,3,0)+\lambda(-4,-2,6),\;\lambda\in\mathbb{R}.
Pergunta explícita: as retas são paralelas, concorrentes (se intersectam) ou reversas (espaçadas / skew)? Se intersectam, encontrar o ponto de interseção.]

Passo 2

Escrevendo as retas em forma vetorial parametrizada (em \mathbb{R}^3) para ficar claro:
  • Para r, usando a hipótese z=0, cada ponto tem coordenadas
X_r(k) = \bigl(1+2k,\;2+k,\;0\bigr) = \bigl(1,2,0\bigr) + k\bigl(2,1,0\bigr).
Aqui \bigl(1,2,0\bigr) é um ponto de r (quando k=0) e \bigl(2,1,0\bigr) é o vetor diretor de r.
  • Para s,
X_s(\lambda) = \bigl(3,3,0\bigr) + \lambda\bigl(-4,-2,6\bigr).
Aqui \bigl(3,3,0\bigr) é um ponto de s e \bigl(-4,-2,6\bigr) é o vetor diretor de s.
Vou ensinar um pouco sobre a ideia: duas retas no espaço podem ser
  • paralelas: os vetores diretores são múltiplos escalares (linearmente dependentes) e não se interceptam (ou coincidentes),
  • concorrentes (intersectam): existe um par de parâmetros que dá o mesmo ponto em ambas as retas,
  • reversas (skew): não são paralelas e não se interceptam.
Para decidir, primeiro verifia-se se os vetores diretores são múltiplos. Se não forem, tenta-se resolver o sistema que iguala as coordenadas para ver se há interseção.

Passo 3

Determinar os vetores diretores:
v_r=\bigl(2,1,0\bigr),\qquad v_s=\bigl(-4,-2,6\bigr).
Verificação de paralelismo: para v_s ser múltiplo de v_r deveria existir \mu tal que
(-4,-2,6)=\mu(2,1,0).
Isso implica nas três igualdades
-4=2\mu,\quad -2=1\mu,\quad 6=0\cdot\mu.
Da segunda igualdade \mu=-2. Da primeira, com \mu=-2, temos -4=2(-2) que é verdadeira; porém a terceira dá 6=0, o que é impossível. Logo não existe \mu que satisfaça todas as componentes — os vetores não são múltiplos. Conclusão: as retas não são paralelas.

Passo 4

Agora testamos interseção: procuramos k e \lambda tais que
\bigl(1+2k,\;2+k,\;0\bigr)=\bigl(3-4\lambda,\;3-2\lambda,\;6\lambda\bigr).
Isto gera o sistema de três equações:
\begin{cases} 1+2k = 3-4\lambda,\\[4pt] 2+k = 3-2\lambda,\\[4pt] 0 = 6\lambda. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema passo a passo:
  • Da terceira equação obtemos imediatamente
6\lambda=0 \quad\Rightarrow\quad \lambda=0.
  • Substituindo \lambda=0 na segunda equação:
2+k = 3-2\cdot 0 \quad\Rightarrow\quad 2+k=3 \quad\Rightarrow\quad k=1.
  • Verificar a primeira equação com \lambda=0 e k=1:
1+2\cdot 1 = 3-4\cdot 0 \quad\Rightarrow\quad 3=3,
que é verdadeira. Portanto existe solução consistente (k,\lambda)=(1,0).

Passo 6

Como existe (k,\lambda) que satisfaz todas as coordenadas, as retas intersectam-se. O ponto de interseção é obtido substituindo k=1 (ou \lambda=0) em qualquer expressão de ponto:
X_r(1)=\bigl(1+2\cdot 1,\;2+1,\;0\bigr)=\bigl(3,3,0\bigr).
Confirmação com s: X_s(0)=\bigl(3,3,0\bigr). Portanto as retas se encontram no ponto \bigl(3,3,0\bigr).

Resposta

As retas intersectam-se em \bigl(3,3,0\bigr).

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