O que é autovalor e como vamos encontrá-lo (explicação didática).
Definição: um número \lambda é autovalor de D se existir vetor não nulo v tal que D v = \lambda v.
Isso é equivalente a existir vetor não nulo v na solução de (D-\lambda I)v=0.
Para achar \lambda procuramos os valores que tornam a matriz D-\lambda I singular, isto é, cujo determinante é zero. O polinômio \det(D-\lambda I) chama-se polinômio característico.
Observação útil (fato fácil de usar em prova): para matrizes triangulares o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Assim o polinômio característico de uma matriz triangular é o produto \prod_{i}(d_{ii}-\lambda).
Passo 3
Cálculo do polinômio característico e dos autovalores.
\begin{cases} -2x + 2y + z = 0,\\[4pt] 0\cdot x + 0\cdot y + 1\cdot z = 0,\\[4pt] 0\cdot x + 0\cdot y -1\cdot z = 0. \end{cases}
Das segunda e terceira equações vem z=0\].
- Substituindo em primeira: \(-2x + 2y + 0 = 0 implica y = x.
- Tomando x=1 obtemos y=1 e z=0, ou seja o autovetor
\begin{cases} - x + 2y + z = 0,\\[4pt] 0\cdot x + 1\cdot y + 1\cdot z = 0,\\[4pt] 0 = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem y = -z\].
- Substituindo na primeira: \(-x + 2(-z) + z = -x - z = 0, logo x = -z.
- Tomando z=1 (escolha conveniente) obtemos x=-1, y=-1, z=1. Um autovetor é
Alternativamente pode-se multiplicar por -1 e usar \begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]-1\end{pmatrix}. Espaço próprio para \lambda=2 é \operatorname{span}\{(-1,-1,1)^T\}.]