Obtenha uma representação em série de potências para a integral dada e determine o seu raio de convergência:
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos representar em série de potências a integral
.
O conteúdo necessário é a expansão de Maclaurin de e a troca de soma e integral.
O conteúdo necessário é a expansão de Maclaurin de
Passo 2
Usamos a série
para todo
. Substituindo
, obtemos
Passo 3
Agora integramos termo a termo de
a
:
Fazendo a mudança de índice
, vem
Passo 4
O raio de convergência dessa série é o mesmo da expansão de
, ou seja,
pois
converge para todo
e a integração termo a termo não altera o raio de convergência.