Obtenha uma representação em série de potências para a integral dada e determine o seu raio de convergência:
\int_{0}^{x} e^{2 t} d t

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos representar em série de potências a integral
\displaystyle \int_{0}^{x}e^{2t}\,dt.
O conteúdo necessário é a expansão de Maclaurin de e^{u} e a troca de soma e integral.

Passo 2

Usamos a série
e^{u} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{u^{n}}{n!}
para todo u. Substituindo u=2t, obtemos
e^{2t} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2t)^{n}}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n}}{n!}\,t^{n}.

Passo 3

Agora integramos termo a termo de t=0 a t=x:
\int_{0}^{x}e^{2t}\,dt = \int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!}t^{n}\,dt = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!}\int_{0}^{x}t^{n}\,dt = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!}\,\frac{x^{\,n+1}}{n+1}.
Fazendo a mudança de índice m=n+1, vem
\int_{0}^{x}e^{2t}\,dt = \sum_{m=1}^{\infty}\frac{2^{m-1}}{(m-1)!}\,\frac{x^{m}}{m} = \sum_{m=1}^{\infty}\frac{2^{m-1}}{m!}\,x^{m}.

Passo 4

O raio de convergência dessa série é o mesmo da expansão de e^{2t}, ou seja,
R = \infty,
pois \sum2^{n}t^{n}/n! converge para todo t e a integração termo a termo não altera o raio de convergência.

Resposta

\int_{0}^{x}e^{2t}\,dt = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n-1}}{n!}\,x^{n}, \quad R = \infty.

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