Para cada caso, mostre que v é um autovetor de A e determine o autovalor correspondente. 2. (b) A= 2 -1 -1 -1 2 -1 -1 -1 2 e v= 1 1 1 Passo 1O enunciado nos dá a matriz A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\\\ -1 & 2 & -1 \\\\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix} e o vetor v = \begin{pmatrix}1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{pmatrix}. Pede-se para mostrar que v é autovetor de A e determinar o autovalor correspondente. O conteúdo é autovalores e autovetores: para verificar se v é autovetor, basta calcular Av e comparar com \lambda v. Passo 2Vamos computar o produto Av. Av = \begin{pmatrix} 2\cdot1 + (-1)\cdot1 + (-1)\cdot1 \\\ (-1)\cdot1 + 2\cdot1 + (-1)\cdot1 \\\ (-1)\cdot1 + (-1)\cdot1 + 2\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 1 - 1 \\\\ -1 + 2 - 1 \\\\ -1 - 1 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{pmatrix}. Passo 3Observamos que \begin{pmatrix}0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{pmatrix} = 0 \begin{pmatrix}1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{pmatrix} = 0\,v. Portanto Av = 0\,v, o que mostra que v é autovetor de A com autovalor \lambda = 0. RespostaO vetor v é autovetor de A e o autovalor correspondente é \lambda = 0. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosSeja T: 2 \rightarrow \mathbb{R}^{2} um operador linear cuja representação matricial na base canônica é: [T]= 0 a b 0 Para que valores de a e b T é diagonalizável? Seja T: 2 \rightarrow \mathbb{R}^{2} um operador linear cuja representação matricial na base canônica é: [T]= 0 a b 0 Para que valores de a e b T é diagonalizável? Para cada caso, mostre que v é um autovetor de A e determine o autovalor correspondente. 4. A= -2 -7 1 2 Justifique o seguinte fato: Os autovalores de uma matriz A são exatamente os autovalores de A^{t}. E os autovetores de A e A^{t} ? Sugestão: Pense no polinômio característico de A e A^{t}.