Para cada caso, mostre que v é um autovetor de A e determine o autovalor correspondente.
2. (b) A=
2 -1 -1
-1 2 -1
-1 -1 2
e v=
1
1
1

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\\\ -1 & 2 & -1 \\\\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}
e o vetor
v = \begin{pmatrix}1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{pmatrix}.
Pede-se para mostrar que v é autovetor de A e determinar o autovalor correspondente. O conteúdo é autovalores e autovetores: para verificar se v é autovetor, basta calcular Av e comparar com \lambda v.

Passo 2

Vamos computar o produto Av.
Av = \begin{pmatrix} 2\cdot1 + (-1)\cdot1 + (-1)\cdot1 \\\ (-1)\cdot1 + 2\cdot1 + (-1)\cdot1 \\\ (-1)\cdot1 + (-1)\cdot1 + 2\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 1 - 1 \\\\ -1 + 2 - 1 \\\\ -1 - 1 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 3

Observamos que
\begin{pmatrix}0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{pmatrix} = 0 \begin{pmatrix}1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{pmatrix} = 0\,v.
Portanto Av = 0\,v, o que mostra que v é autovetor de A com autovalor \lambda = 0.

Resposta

O vetor v é autovetor de A e o autovalor correspondente é \lambda = 0.

Exercícios relacionados