- Justifique o seguinte fato: Os autovalores de uma matriz A são exatamente os autovalores de A^{t}. E os autovetores de A e A^{t} ? Sugestão: Pense no polinômio característico de A e A^{t}.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que os autovalores de uma matriz
coincidem com os autovalores de
, e discutir o que acontece com os autovetores. Vamos usar o polinômio característico
Passo 2
Como
para qualquer matriz quadrada
, temos
Logo o polinômio característico de
é igual a
, o que implica que os zeros (autovalores) são exatamente os mesmos.
Passo 3
Um autovetor de
associado a
satisfaz
Já um autovetor de
satisfaz
que, transpondo, é equivalente a
Portanto os autovetores de
são exatamente os vetores cujas transpostas são autovetores linhas (left eigenvectors) de
. Em geral os autovetores coluna de
e de
não coincidem, salvo em casos especiais (por exemplo se
for simétrica).
Resposta
Os autovalores de
e de
coincidem porque ambos têm o mesmo polinômio característico. Já os autovetores de
(direitos) e de
(colunas) não coincidem em geral: os autovetores de
são os vetores cujas transpostas são autovetores linhas de
.