1. Justifique o seguinte fato: Os autovalores de uma matriz A são exatamente os autovalores de A^{t}. E os autovetores de A e A^{t} ? Sugestão: Pense no polinômio característico de A e A^{t}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os autovalores de uma matriz A coincidem com os autovalores de A^{t}, e discutir o que acontece com os autovetores. Vamos usar o polinômio característico
p_A(\lambda)=\det(A - \lambda I).

Passo 2

Como \det(M^{t})=\det(M) para qualquer matriz quadrada M, temos
\det\bigl(A^{t}-\lambda I\bigr) =\det\bigl((A-\lambda I)^{t}\bigr) =\det(A-\lambda I) =p_A(\lambda).
Logo o polinômio característico de A^{t} é igual a p_A(\lambda), o que implica que os zeros (autovalores) são exatamente os mesmos.

Passo 3

Um autovetor de A associado a \lambda satisfaz
A\,v=\lambda\,v.
Já um autovetor de A^{t} satisfaz
A^{t}w=\lambda\,w,
que, transpondo, é equivalente a
w^{t}A=\lambda\,w^{t}.
Portanto os autovetores de A^{t} são exatamente os vetores cujas transpostas são autovetores linhas (left eigenvectors) de A. Em geral os autovetores coluna de A e de A^{t} não coincidem, salvo em casos especiais (por exemplo se A for simétrica).

Resposta

Os autovalores de A e de A^{t} coincidem porque ambos têm o mesmo polinômio característico. Já os autovetores de A (direitos) e de A^{t} (colunas) não coincidem em geral: os autovetores de A^{t} são os vetores cujas transpostas são autovetores linhas de A.

Exercícios relacionados