Seja T:
2 \rightarrow \mathbb{R}^{2} um operador linear cuja representação matricial na base canônica é:
[T]=
0 a
b 0
Para que valores de a e b T é diagonalizável?
0 a
b 0
Passo 1
O enunciado nos dá o operador linear
cuja matriz na base canônica é
Queremos decidir para quais
essa matriz é diagonalizável sobre
. Para isso vamos usar o polinômio característico, encontrar os autovalores e analisar as dimensões dos autespaços.]
Passo 2
Calculamos o polinômio característico de
:
Daí os autovalores são
Passo 3
Caso
:
Então é real e não nulo, e os dois autovalores
são distintos. Uma matriz
com autovalores reais distintos sempre tem dois autovetores independentes e, portanto, é diagonalizável sobre
.
Então
Passo 4
Caso
:
O polinômio vira , com autovalor
de multiplicidade algébrica
.
O polinômio vira
- Se
, então é a matriz nula; todo vetor é autovetor de valor , o autespaço tem dimensão e a matriz é diagonalizável (já está “diagonal”). - Se exatamente um entre
ou for não nulo, então mas ; o autespaço associado a tem dimensão , insuficiente para diagonalizar.
Passo 5
Caso
:
O valor de é imaginário e não há autovalores reais, logo não se pode diagonalizar sobre
.
O valor de
Resposta
-
(dois autovalores reais e distintos), ou -
(matriz nula, autovalor zero duplo com autespaço de dimensão ).