Seja T:
2 \rightarrow \mathbb{R}^{2} um operador linear cuja representação matricial na base canônica é:
[T]=
0 a
b 0
Para que valores de a e b T é diagonalizável?

Passo 1

O enunciado nos dá o operador linear T\colon \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} cuja matriz na base canônica é
M = \begin{pmatrix}0 & a \\[6pt] b & 0\end{pmatrix}.
Queremos decidir para quais a,b essa matriz é diagonalizável sobre \mathbb{R}. Para isso vamos usar o polinômio característico, encontrar os autovalores e analisar as dimensões dos autespaços.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de M:
\det(M - \lambda I) =\det\begin{pmatrix}-\lambda & a \\[4pt] b & -\lambda\end{pmatrix} =\lambda^{2}-ab.
Daí os autovalores são
\lambda = \pm \sqrt{ab}.]

Passo 3

Caso ab>0:
Então \sqrt{ab} é real e não nulo, e os dois autovalores \pm\sqrt{ab} são distintos. Uma matriz 2\times2 com autovalores reais distintos sempre tem dois autovetores independentes e, portanto, é diagonalizável sobre \mathbb{R}.

Passo 4

Caso ab=0:
O polinômio vira \lambda^{2}=0, com autovalor \lambda=0 de multiplicidade algébrica 2.
  • Se a=b=0, então M é a matriz nula; todo vetor é autovetor de valor 0, o autespaço tem dimensão 2 e a matriz é diagonalizável (já está “diagonal”).
  • Se exatamente um entre a ou b for não nulo, então M\neq0 mas M^{2}=0; o autespaço associado a \lambda=0 tem dimensão 1, insuficiente para diagonalizar.

Passo 5

Caso ab<0:
O valor de \sqrt{ab} é imaginário e não há autovalores reais, logo não se pode diagonalizar sobre \mathbb{R}.

Resposta

T é diagonalizável sobre \mathbb{R} exatamente quando
  • ab>0 (dois autovalores reais e distintos), ou
  • a=b=0 (matriz nula, autovalor zero duplo com autespaço de dimensão 2).

Exercícios relacionados