Em cada caso a seguir, expresse a função f como composição das funções dadas.
f(x)=2+\frac{1}{\sqrt{x}} em termos de g(x)=2+x, h(x)=\sqrt{x} e p(x)=\frac{1}{x}.

Passo 1

O enunciado pede que eu escreva a função f como composição das funções g, h, p. Informações dadas:
f(x)=2+\frac{1}{\sqrt{x}},
g(x)=2+x,\qquad h(x)=\sqrt{x},\qquad p(x)=\frac{1}{x}.
A tarefa é escrever f usando apenas composições dessas três funções (por exemplo g\circ p\circ h ou outra ordem), de modo que aplicando as funções na ordem correta eu obtenha f(x).

Passo 2

O que é composição de funções? Se eu tenho duas funções a e b, a composição a\circ b é a função que aplica primeiro b e depois a. Por definição,
(a\circ b)(x)=a\big(b(x)\big).
Exemplo simples para fixar: se r(x)=x+1 e s(x)=2x, então
(r\circ s)(x)=r\big(s(x)\big)=s(x)+1=2x+1.
Note que a ordem importa: r\circ s\neq s\circ r em geral.

Passo 3

Vou analisar a estrutura de f(x). Escrevendo por etapas:
  • Primeiro aparece \sqrt{x} (a raiz quadrada de x).
  • Depois é tomado o inverso de \sqrt{x}, ou seja \dfrac{1}{\sqrt{x}}.
  • Por fim soma-se 2.
Essas três etapas correspondem exatamente às ações das funções dadas:
  • h faz \sqrt{\cdot}: h(x)=\sqrt{x}.
  • p faz o inverso: p(t)=\dfrac{1}{t}.
  • g soma 2: g(u)=2+u.

Passo 4

Como a composição aplica funções da direita para a esquerda (primeiro a de mais à direita), a ordem que reproduz as etapas é: primeiro h, depois p, depois g. Em notação de composição isso significa g\circ p\circ h.

Passo 5

Vou montar a composição passo a passo e mostrar que ela dá f.
Primeiro aplico h:
h(x)=\sqrt{x}.
Em seguida aplico p ao resultado de h:
\big(p\circ h\big)(x)=p\big(h(x)\big)=p\big(\sqrt{x}\big)=\frac{1}{\sqrt{x}}.
Finalmente aplico g ao resultado anterior:
\big(g\circ p\circ h\big)(x)=g\big((p\circ h)(x)\big)=g\!\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)=2+\frac{1}{\sqrt{x}}.

Passo 6

Conclusão: a composição g\circ p\circ h reproduz exatamente f. Para checar numericamente, tomo x=4:
h(4)=2,\quad p(h(4))=\frac{1}{2},\quad g(p(h(4)))=2+\frac{1}{2}=2{,}5,
que coincide com f(4)=2+\dfrac{1}{\sqrt{4}}=2{,}5. Então a construção está correta.

Resposta

f(x)=(g\circ p\circ h)(x)

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