Em cada caso a seguir, expresse a função
como composição das funções dadas.
em termos de
e
.
Passo 1
O enunciado pede que eu escreva a função
como composição das funções
. Informações dadas:
A tarefa é escrever
usando apenas composições dessas três funções (por exemplo
ou outra ordem), de modo que aplicando as funções na ordem correta eu obtenha
.
Passo 2
O que é composição de funções? Se eu tenho duas funções
e
, a composição
é a função que aplica primeiro
e depois
. Por definição,
Exemplo simples para fixar: se
e
, então
Note que a ordem importa:
em geral.
Passo 3
Vou analisar a estrutura de
. Escrevendo por etapas:
- Primeiro aparece
(a raiz quadrada de ). - Depois é tomado o inverso de
, ou seja . - Por fim soma-se
.
Essas três etapas correspondem exatamente às ações das funções dadas:
-
faz : . -
faz o inverso: . -
soma : .
Passo 4
Como a composição aplica funções da direita para a esquerda (primeiro a de mais à direita), a ordem que reproduz as etapas é: primeiro
, depois
, depois
. Em notação de composição isso significa
.
Passo 5
Vou montar a composição passo a passo e mostrar que ela dá
.
Primeiro aplico
:
Em seguida aplico
ao resultado de
:
Finalmente aplico
ao resultado anterior:
Passo 6
Conclusão: a composição
reproduz exatamente
. Para checar numericamente, tomo
:
que coincide com
. Então a construção está correta.