Exercício 8. Sejam f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} as funções dadas por
f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^{2}-4 x+3, & \text { se } x \geq 2, \\\\ 2 x-3, & \text { se } x<2 . \end{array} \quad \text { e } \quad g(x)=2 x+3\right.
Encontre uma expressão para a composta f \circ g.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma expressão para a composta f\circ g\), onde são dadas as funções
\[f(x)=\begin{cases} x^{2}-4x+3, & \text{se } x\ge 2,\\[4pt] 2x-3, & \text{se } x<2, \end{cases}
e
g(x)=2x+3.
Informações relevantes: \;f\] é definida por partes com mudança em \(x=2.
\;g é uma função afim g(x)=2x+3.
A composta f\circ g significa a função que a cada x\in\mathbb{R} associa f(g(x)).
Ainda: como f tem definição diferente dependendo se a entrada é \ge 2 ou <2, precisamos verificar para quais x a quantidade g(x) é \ge 2 ou <2. A resolução começa a partir daí.]
Passo 2
Entendendo claramente o que fazer: para cada x devemos calcular f(g(x)). Isso exige que a gente substitua g(x) no lugar de x em f, mas escolhendo a ramificação correta de f dependendo de \emph{se} g(x)\ge 2 ou g(x)<2. Ou seja:
se g(x)\ge 2 então f(g(x))=(g(x))^{2}-4g(x)+3;
se g(x)<2 então f(g(x))=2g(x)-3.
Passo 3
Vamos encontrar o conjunto de x que leva g(x) para cada ramo de f. Resolveremos a desigualdade
g(x)\ge 2.
Como g(x)=2x+3, substituímos e obtemos
2x+3\ge 2.
Fazendo as operações: subtrair 3 dos dois lados dá
2x\ge -1,
e dividindo por 2 (positivo, então a desigualdade não muda) obtemos
x\ge -\tfrac{1}{2}.
Portanto:
para x\ge -\tfrac{1}{2} usamos o ramo quadrático de f;
para x< -\tfrac{1}{2} usamos o ramo linear de f.
Passo 4
Calcular f(g(x)) quando x\ge -\tfrac{1}{2} (ou seja, quando g(x)\ge 2). Substituímos g(x)=2x+3 no polinômio de f:
f(g(x))=(2x+3)^{2}-4(2x+3)+3.
Agora expandimos passo a passo. Primeiro o quadrado:
(2x+3)^{2}=4x^{2}+12x+9.
Em seguida multiplicamos:
-4(2x+3)=-8x-12.
Somando tudo:
4x^{2}+12x+9 -8x -12 +3.
Agrupando termos semelhantes:
4x^{2}+(12x-8x)+(9-12+3)=4x^{2}+4x+0.
Logo, para x\ge -\tfrac{1}{2} obtemos
f(g(x))=4x^{2}+4x.
Passo 5
Calcular f(g(x)) quando x< -\tfrac{1}{2} (ou seja, quando g(x)<2). Agora usamos o ramo linear de f:
f(g(x))=2\big(g(x)\big)-3=2(2x+3)-3.
Expandindo e simplificando:
2(2x+3)-3=4x+6-3=4x+3.
Portanto, para x< -\tfrac{1}{2} temos
f(g(x))=4x+3.
Passo 6
Juntando as duas expressões pelo critério que encontramos em \;x=-\tfrac{1}{2}\):
\[f\circ g (x)=\begin{cases} 4x^{2}+4x, & \text{se } x\ge -\tfrac{1}{2},\\[4pt] 4x+3, & \text{se } x< -\tfrac{1}{2}. \end{cases}
Pequena verificação rápida (checar um ponto de cada ramo):
para x=0\] (que é \(\ge -\tfrac{1}{2}), g(0)=3 e f(3)=3^{2}-12+3=0; nossa fórmula dá 4\cdot0^{2}+4\cdot0=0, bate.
para x=-1 (que é < -\tfrac{1}{2}), g(-1)=1 e f(1)=2\cdot1-3=-1; nossa fórmula dá 4(-1)+3=-1, bate.
Observação: em x=-\tfrac{1}{2} temos g(-\tfrac{1}{2})=2, e como a condição de igualdade foi incluída no ramo quadrático, o valor da composta nesse ponto é f(2)= -1, consistente com 4x^{2}+4x em x=-\tfrac{1}{2}.]