Em cada caso a seguir, expresse a função
como composição das funções dadas.
em termos de
e
.
Passo 1
O enunciado pede para expressar a função
como composição das funções dadas. As informações são:
e as funções fornecidas são
A pergunta é: como escrever
usando composições de
,
e
?
Passo 2
Lembrete prático sobre composição de funções (aula rápida e direta). Se
e
são funções, então a composição
é a função definida por
Ou seja, aplicamos primeiro
em
e depois aplicamos
no resultado. A ordem importa:
não é o mesmo que
em geral.
Passo 3
Identifico a parte mais interna de
. Observando
a expressão interna imediata é
. Essa é exatamente a função
. Logo, o primeiro passo ao compor será usar
:
Passo 4
Agora aplico
sobre o resultado de
. Pela definição de
temos
. Substituindo
obtemos
Aqui eu apenas substituí
dentro de
, que é a operação padrão de composição.
Passo 5
Finalmente aplico
ao resultado anterior. Como
, substituindo
temos
Isso coincide exatamente com
.
Passo 6
Concluo que
é a composição de
,
e
na ordem que aplicamos: primeiro
, depois
, depois
. Em notação de composição:
ou seja, para todo
,