Prove que se A,+, \bullet é um anel qualquer então são válidas as seguintes propriedades quaisquer que sejam x, y, z \in A :
-(x \cdot y)=(-x) \cdot y=x \cdot(-y)

Passo 1

O enunciado pede para provar que, num anel A com operações + e \bullet, valem para quaisquer x,y,z\in A as igualdades
-(x\bullet y)=(-x)\bullet y = x\bullet(-y).
Informações dadas que vamos usar: a estrutura A é um anel, isto é, sabemos que em A existem uma identidade aditiva 0, para todo elemento a\in A existe um inverso aditivo denotado por -a com a+(-a)=0, e a multiplicação é distributiva sobre a soma: para quaisquer u,v,w\in A
(u+v)\bullet w = u\bullet w + v\bullet w \quad\text{e}\quad w\bullet(u+v) = w\bullet u + w\bullet v.
Observação: o elemento z foi dado no enunciado mas não é necessário para a prova; usaremos x e y.

Passo 2

Lembrete útil (e pequeno teorema que vamos usar): o inverso aditivo é único. Explico por quê. Se b e c são ambos inversos aditivos de a, então a+b=0 e a+c=0. Temos
b = b+0 = b+(a+c) = (b+a)+c = 0+c = c.
Portanto não pode haver dois inversos aditivos diferentes; o inverso aditivo de um elemento é único e é escrito -a. Isso significa que, sempre que mostrarmos que um elemento w satisfaz w + (x\bullet y)=0, concluímos que w = -(x\bullet y).

Passo 3

Provar que ( -x)\bullet y = -(x\bullet y).
Começamos calculando a soma ( -x)\bullet y + x\bullet y. Usamos a distributividade da multiplicação em relação à soma (aqui aplicamos (u+v)\bullet w = u\bullet w + v\bullet w com u=-x, v=x, w=y):
(-x)\bullet y + x\bullet y = \big((-x)+x\big)\bullet y.
Pelo inverso aditivo, \big((-x)+x\big)=0. Então
\big((-x)+x\big)\bullet y = 0\bullet y.
Agora precisamos justificar que 0\bullet y = 0. Isso vem de uma identidade padrão em anéis: como 0=0+0, aplicando distributividade
0\bullet y = (0+0)\bullet y = 0\bullet y + 0\bullet y.
Somando o inverso aditivo de 0\bullet y em ambos os lados, obtemos 0 = 0\bullet y. Assim
(-x)\bullet y + x\bullet y = 0.
Pelo passo 2 (unicidade do inverso aditivo), a soma acima mostra que ( -x)\bullet y é o inverso aditivo de x\bullet y, ou seja
(-x)\bullet y = -(x\bullet y).

Passo 4

Provar que x\bullet(-y) = -(x\bullet y).
A demonstração é análoga à do passo anterior, trocando o papel da soma na direita pela soma na esquerda e usando a distributividade w\bullet(u+v)=w\bullet u + w\bullet v. Calcule
x\bullet(-y) + x\bullet y = x\big((-y)+y\big).
Como (-y)+y=0, isso vira
x\big((-y)+y\big) = x\bullet 0.
Mostramos antes que multiplicar por 0 0; para lembrar: x\bullet 0 = x\bullet(0+0) = x\bullet 0 + x\bullet 0, daí subtrai-se (usa-se o inverso aditivo) para concluir x\bullet 0 = 0. Portanto
x\bullet(-y) + x\bullet y = 0.
Novamente, pela unicidade do inverso aditivo, isso mostra que x\bullet(-y) é o inverso aditivo de x\bullet y, ou seja
x\bullet(-y) = -(x\bullet y).

Passo 5

Concluir a igualdade completa.
Do Passo 3 temos ( -x)\bullet y = -(x\bullet y). Do Passo 4 temos x\bullet(-y) = -(x\bullet y). Como ambos são iguais a -(x\bullet y), eles são iguais entre si. Portanto
(-x)\bullet y = -(x\bullet y) = x\bullet(-y).

Resposta

-(x\bullet y)=(-x)\bullet y = x\bullet(-y)

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