Prove que se
é um anel qualquer então são válidas as seguintes propriedades quaisquer que sejam
:
Passo 1
O enunciado pede para provar que, num anel
com operações
e
, valem para quaisquer
as igualdades
Informações dadas que vamos usar: a estrutura
é um anel, isto é, sabemos que em
existem uma identidade aditiva
, para todo elemento
existe um inverso aditivo denotado por
com
, e a multiplicação é distributiva sobre a soma: para quaisquer
Observação: o elemento
foi dado no enunciado mas não é necessário para a prova; usaremos
e
.
Passo 2
Lembrete útil (e pequeno teorema que vamos usar): o inverso aditivo é único. Explico por quê. Se
e
são ambos inversos aditivos de
, então
e
. Temos
Portanto não pode haver dois inversos aditivos diferentes; o inverso aditivo de um elemento é único e é escrito
. Isso significa que, sempre que mostrarmos que um elemento
satisfaz
, concluímos que
.
Passo 3
Provar que
.
Começamos calculando a soma
. Usamos a distributividade da multiplicação em relação à soma (aqui aplicamos
com
,
,
):
Pelo inverso aditivo,
. Então
Agora precisamos justificar que
. Isso vem de uma identidade padrão em anéis: como
, aplicando distributividade
Somando o inverso aditivo de
em ambos os lados, obtemos
. Assim
Pelo passo 2 (unicidade do inverso aditivo), a soma acima mostra que
é o inverso aditivo de
, ou seja
Passo 4
Provar que
.
A demonstração é análoga à do passo anterior, trocando o papel da soma na direita pela soma na esquerda e usando a distributividade
. Calcule
Como
, isso vira
Mostramos antes que multiplicar por
dá
; para lembrar:
, daí subtrai-se (usa-se o inverso aditivo) para concluir
. Portanto
Novamente, pela unicidade do inverso aditivo, isso mostra que
é o inverso aditivo de
, ou seja
Passo 5
Concluir a igualdade completa.
Do Passo 3 temos
. Do Passo 4 temos
. Como ambos são iguais a
, eles são iguais entre si. Portanto