Em cada caso a seguir, expresse a função f como composição das funções dadas.
f(x)=e^{\frac{x^{2}}{2}} em termos de g(x)=\frac{x^{2}}{2} e h(x)=e^{x}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes funções e pede que a gente escreva f como composição das funções dadas:
f(x)=e^{\frac{x^{2}}{2}},
g(x)=\frac{x^{2}}{2},
h(x)=e^{x}.
A pergunta explícita: expressar f usando composição de g e h.

Passo 2

Vamos lembrar (com calma) o que é composição de funções. Se eu tenho duas funções g e h, a composição h\circ g é a função que primeiro aplica g a x e depois aplica h ao resultado. Em notação:
(h\circ g)(x)=h\big(g(x)\big).
Aqui a ordem importa: primeiro g, depois h.

Passo 3

Agora aplico essa definição ao nosso caso. Primeiro calcule g(x):
g(x)=\frac{x^{2}}{2}.
Em seguida aplico h a esse resultado. Como h(t)=e^{t} (usei t só para lembrar que h recebe um número), temos:
h\big(g(x)\big)=e^{\,g(x)}=e^{\frac{x^{2}}{2}}.

Passo 4

Comparei h\big(g(x)\big) com f(x). Observamos que:
h\big(g(x)\big)=e^{\frac{x^{2}}{2}}=f(x).
Portanto f é exatamente a composição h\circ g.

Passo 5

Só para firmar com um exemplo numérico rápido (pra você sentir que funciona na prática): se x=1, então g(1)=\tfrac{1^{2}}{2}=\tfrac{1}{2} e h(g(1))=e^{1/2}. Isso coincide com f(1)=e^{1/2}. Ordem importa: g\circ h daria \tfrac{e^{2x}}{2}, que não é a mesma coisa.

Resposta

f(x)=(h\circ g)(x)

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