Em cada caso a seguir, expresse a função f como composição das funções dadas.
f(x)=\sqrt{x^{2}+1} em termos de g(x)=\sqrt{x} e h(x)=x^{2}+1

Passo 1

O enunciado pede para expressar a função f como composição das funções dadas. Dados:
f(x)=\sqrt{x^{2}+1},
g(x)=\sqrt{x},
h(x)=x^{2}+1.
A tarefa é escrever f usando apenas g e h combinadas (isto é, como uma composição dessas funções).

Passo 2

O que significa “composição” de funções? Se temos duas funções g e h, a composição g\circ h é a função que aplica h primeiro e depois aplica g ao resultado. Em notação:
(g\circ h)(x)=g\big(h(x)\big).
Aqui h(x) é inserido como entrada de g. Cada símbolo representa:
  • x: a variável independente (o número que eu coloco),
  • h(x): o valor que h produz ao receber x,
  • g(h(x)): aplicar g ao valor h(x).

Passo 3

Vamos calcular g\big(h(x)\big) usando as expressões dadas. Primeiro escrevemos g em termos da entrada genérica, chamemos de u: g(u)=\sqrt{u}. Agora substituímos u=h(x). Assim
g\big(h(x)\big)=\sqrt{\,h(x)\,}.

Passo 4

Agora substituímos h(x)=x^{2}+1 na expressão anterior:
g\big(h(x)\big)=\sqrt{\,x^{2}+1\,}.
Mas isso é exatamente f(x), pois f(x)=\sqrt{x^{2}+1}.

Passo 5

Concluímos que a composição g\circ h coincide com f para todo x. Uma observação rápida sobre domínios: h(x)=x^{2}+1 toma valores \ge 1, que estão no domínio de g (que exige entrada \ge 0), então a composição está bem definida para todo x\in\mathbb{R}.

Resposta

f(x)=(g\circ h)(x)=g(h(x))=\sqrt{x^{2}+1}

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