O que se pede: encontrar (g\circ f)(x)=g(f(x)) para todo x\in\mathbb{R}, isto é, uma expressão que dê g(f(x)) em função de x.]
Passo 2
O que significa composta de funções? Quando escrevemos (g\circ f)(x) isso quer dizer: primeiro aplico f em x para obter um valor f(x), e depois aplico g nesse resultado. Em notação:
(g\circ f)(x)=g\big(f(x)\big).
Se eu souber que g(t)=2t+3 (aqui escrevo t para lembrar que g recebe um número qualquer), então ao aplicar g a f(x) eu substituo t por f(x).
Passo 3
Usando a forma de g, escrevo g\big(f(x)\big) de forma direta:
g\big(f(x)\big)=2\cdot f(x)+3.
Isso é apenas substituir t=f(x) em g(t)=2t+3. Agora preciso usar a definição peça a peça de f(x) para escrever explicitamente 2f(x)+3 em cada caso.
Passo 4
Caso x\ge 2: aqui f(x)=x^{2}-4x+3. Substituo na fórmula 2f(x)+3:
2f(x)+3=2\big(x^{2}-4x+3\big)+3.
Agora desenvolvo a multiplicação e somo os termos constantes:
2\big(x^{2}-4x+3\big)+3 = 2x^{2}-8x+6+3.
Somando 6+3 chego a
2x^{2}-8x+9.
Portanto, para x\ge 2 temos (g\circ f)(x)=2x^{2}-8x+9.
Passo 5
Caso x<2: aqui f(x)=2x-3. Substituo na fórmula 2f(x)+3:
2f(x)+3=2\big(2x-3\big)+3.
Faço a multiplicação e a soma:
2\big(2x-3\big)+3 = 4x-6+3 = 4x-3.
Portanto, para x<2 temos (g\circ f)(x)=4x-3.
Passo 6
Resumo do que obtemos peça a peça: para x\ge 2 a expressão é um polinômio quadrático 2x^{2}-8x+9; para x<2 é uma função linear 4x-3. A composição está definida para todo x\in\mathbb{R} (já que f tem domínio \mathbb{R} e g também).
Passo 7
Checagem rápida no ponto x=2 (útil para você ver se as peças coincidem ou não): avaliando as duas expressões em x=2:
2x^{2}-8x+9\Big|_{x=2}=2\cdot4-16+9=8-16+9=1,
4x-3\Big|_{x=2}=8-3=5.
Como os valores são diferentes, a função composta tem descontinuidade em x=2 — só uma observação extra para você ficar atento em provas.