Em cada caso, verificar se
\langle\cdot, \cdot\rangle: V \times V \rightarrow \mathbb{K}
é um produto interno em
. Caso afirmativo, encontrar a sua matriz hermitiana com respeito à base canônica.
V=\mathbb{R}^{2}, \mathbb{K}=\mathbb{R},\left\langle\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\right\rangle=x_{1} x_{2}+y_{1} x_{2}+x_{1} y_{2}+2 y_{1} y_{2}
\langle\cdot, \cdot\rangle: V \times V \rightarrow \mathbb{K}
é um produto interno em
V=\mathbb{R}^{2}, \mathbb{K}=\mathbb{R},\left\langle\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\right\rangle=x_{1} x_{2}+y_{1} x_{2}+x_{1} y_{2}+2 y_{1} y_{2}
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a forma bilinear
é um produto interno em
sobre
. Em caso afirmativo, queremos achar a matriz hermitiana dessa forma na base canônica. Vamos usar os conceitos de bilinearidade, simetria e positividade-definida, além do critério de Sylvester para verificar positividade.
Passo 2
Verificamos bilinearidade e simetria:
- A expressão é claramente linear em cada um dos argumentos, pois é soma de produtos de componentes.
- Trocando
por obtemos a mesma soma de termos, logo
isto é, a forma é simétrica.
Passo 3
Para achar a matriz
na base canônica
, calculamos
Portanto,
Passo 4
Checamos positividade-definida via critérios de Sylvester:
- Menor principal de ordem 1:
. - Menor principal de ordem 2:
Como todos os menores principais são positivos,
é definida positiva e a forma é um produto interno.
Resposta
Sim,
é um produto interno em
.
A matriz hermitiana na base canônica é
A matriz hermitiana na base canônica é