Em cada caso, verificar se
\langle\cdot, \cdot\rangle: V \times V \rightarrow \mathbb{K}
é um produto interno em V. Caso afirmativo, encontrar a sua matriz hermitiana com respeito à base canônica.
V=\mathbb{R}^{2}, \mathbb{K}=\mathbb{R},\left\langle\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\right\rangle=x_{1} x_{2}+y_{1} x_{2}+x_{1} y_{2}+2 y_{1} y_{2}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a forma bilinear
\langle(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\rangle = x_{1}x_{2} + y_{1}x_{2} + x_{1}y_{2} + 2y_{1}y_{2}
é um produto interno em V=\mathbb{R}^{2} sobre \mathbb{K}=\mathbb{R}. Em caso afirmativo, queremos achar a matriz hermitiana dessa forma na base canônica. Vamos usar os conceitos de bilinearidade, simetria e positividade-definida, além do critério de Sylvester para verificar positividade.

Passo 2

Verificamos bilinearidade e simetria:
  1. A expressão é claramente linear em cada um dos argumentos, pois é soma de produtos de componentes.
  2. Trocando (x_{1},y_{1}) por (x_{2},y_{2}) obtemos a mesma soma de termos, logo
\langle(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\rangle = \langle(x_{2},y_{2}),(x_{1},y_{1})\rangle,
isto é, a forma é simétrica.

Passo 3

Para achar a matriz M na base canônica \{e_{1}=(1,0),\,e_{2}=(0,1)\}, calculamos
M_{11}=\langle e_{1},e_{1}\rangle =1,\quad M_{12}=\langle e_{1},e_{2}\rangle =1,\quad M_{21}=\langle e_{2},e_{1}\rangle =1,\quad M_{22}=\langle e_{2},e_{2}\rangle =2.
Portanto,
M = \begin{pmatrix}1 & 1\\[6pt]1 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 4

Checamos positividade-definida via critérios de Sylvester:
  • Menor principal de ordem 1: M_{11}=1>0.
  • Menor principal de ordem 2:
\det M = 1\cdot2 - 1\cdot1 = 1 > 0.
Como todos os menores principais são positivos, M é definida positiva e a forma é um produto interno.

Resposta

Sim, \langle\cdot,\cdot\rangle é um produto interno em \mathbb{R}^{2}.
A matriz hermitiana na base canônica é
\begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ 1 & 2 \end{pmatrix}.

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