Em cada caso, verifique se
is um homomorfismo.
Passo 1
O enunciado dá:
- O grupo
é , ou seja, o conjunto dos números reais com a operação adição. - O grupo
é , ou seja, pares ordenados de reais com a adição componente a componente. - A função
está definida por para todo .
O que o enunciado pede:
- Verificar se
é um homomorfismo (de grupos) — isto é, verificar se preserva a operação de adição: para quaisquer deve valer .
Passo 2
O que significa ser homomorfismo (lembrete didático):
- Para grupos aditivos, uma aplicação
é homomorfismo se, para todos ,
- Aqui a operação em
é a adição normal de números reais e a operação em é a adição componente a componente: se então
- Portanto, para verificar que
é homomorfismo basta calcular e e comparar as duas expressões.
Passo 3
Calcular
. Usando a definição
com
, temos
Fazendo a distributiva das multiplicações:
Passo 4
Calcular
. Pela definição,
Somando componente a componente:
Passo 5
Comparação das expressões:
- De
e vemos que são idênticas para quaisquer . - Logo, para todo
vale . Portanto preserva a adição e é um homomorfismo de grupos.
Passo 6
Observações extras (úteis na prova, mas não exigidas para a verificação):
- Imagem:
, que é uma reta através da origem em . Em particular, , portanto não é sobrejetora. - Núcleo:
. Resolver dá e , daí . Então , o que implica que é injetora. Essas propriedades são boas de checar rápido numa prova para entender a aplicação.
Resposta
Sim:
é um homomorfismo de grupos.