Em cada caso, verifique se f: G \longrightarrow J is um homomorfismo.
G=(\mathbb{R},+), J=(\mathbb{R} \times \mathbb{R},+), f(x)=(2 x, 3 x)

Passo 1

O enunciado dá:
  • O grupo G é (\mathbb{R},+), ou seja, o conjunto dos números reais com a operação adição.
  • O grupo J é (\mathbb{R}\times\mathbb{R},+), ou seja, pares ordenados de reais com a adição componente a componente.
  • A função f: G \longrightarrow J está definida por f(x)=(2x,3x) para todo x\in\mathbb{R}.
O que o enunciado pede:
  • Verificar se f é um homomorfismo (de grupos) — isto é, verificar se f preserva a operação de adição: para quaisquer x,y\in\mathbb{R} deve valer f(x+y)=f(x)+f(y).

Passo 2

O que significa ser homomorfismo (lembrete didático):
  • Para grupos aditivos, uma aplicação f:(G,+)\to(J,+) é homomorfismo se, para todos x,y\in G,
f(x+y)=f(x)+f(y).
  • Aqui a operação em G é a adição normal de números reais e a operação em J é a adição componente a componente: se (a,b),(c,d)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R} então
(a,b)+(c,d)=(a+c,\;b+d).
  • Portanto, para verificar que f é homomorfismo basta calcular f(x+y) e f(x)+f(y) e comparar as duas expressões.

Passo 3

Calcular f(x+y). Usando a definição f(t)=(2t,3t) com t=x+y, temos
f(x+y)=(2(x+y),\;3(x+y)).
Fazendo a distributiva das multiplicações:
f(x+y)=(2x+2y,\;3x+3y).

Passo 4

Calcular f(x)+f(y). Pela definição,
f(x)=(2x,3x),\qquad f(y)=(2y,3y).
Somando componente a componente:
f(x)+f(y)=(2x+2y,\;3x+3y).

Passo 5

Comparação das expressões:
  • De \,f(x+y)=(2x+2y,\;3x+3y)\, e \,f(x)+f(y)=(2x+2y,\;3x+3y)\, vemos que são idênticas para quaisquer x,y\in\mathbb{R}.
  • Logo, para todo x,y vale f(x+y)=f(x)+f(y). Portanto f preserva a adição e é um homomorfismo de grupos.

Passo 6

Observações extras (úteis na prova, mas não exigidas para a verificação):
  • Imagem: \mathrm{Im}(f)=\{(2x,3x)\mid x\in\mathbb{R}\}, que é uma reta através da origem em \mathbb{R}^2. Em particular, \mathrm{Im}(f)\neq\mathbb{R}^2, portanto f não é sobrejetora.
  • Núcleo: \ker(f)=\{x\in\mathbb{R}\mid f(x)=(0,0)\}. Resolver (2x,3x)=(0,0) 2x=0 e 3x=0, daí x=0. Então \ker(f)=\{0\}, o que implica que f é injetora. Essas propriedades são boas de checar rápido numa prova para entender a aplicação.

Resposta

Sim: f é um homomorfismo de grupos.

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