Em cada caso, verifique se f: G \longrightarrow J is um homomorfismo.
G=(\mathbb{R}, \cdot), J=(\mathbb{R}, \cdot), f(x)=|x|

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede (peguei tudo do enunciado):
  • Domínio e contradomínio: G=(\mathbb{R},\cdot) e J=(\mathbb{R},\cdot).
  • Aplicação dada: f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} definida por f(x)=|x|.
  • Pergunta: verificar se f é um homomorfismo (ou seja, se preserva a operação multiplicativa).

Passo 2

Definição prática de homomorfismo que vou usar (explicando bem):
  • Uma aplicação f entre duas estruturas com operação binária (aqui ambas usam multiplicação) é homomorfismo se, para todo x,y no domínio, vale
f(xy)=f(x)\,f(y).
  • Isso é tudo: “preservar a operação”. Não é preciso, para verificar essa igualdade, checar inversos ou identidade a princípio — embora seja útil também verificar identidade e núcleo depois.

Passo 3

Vou verificar a propriedade crucial f(xy)=f(x)f(y) para f(x)=|x|.
  • Conhecimento usado: a função valor absoluto satisfaz, para quaisquer x,y\in\mathbb{R},
|xy| = |x|\,|y|.
  • Justificativa curta e intuitiva dessa propriedade: o sinal de xy é o produto dos sinais de x e y; o valor absoluto elimina sinal, então o módulo do produto é o produto dos módulos. Formalmente, se x=0 ou y=0 ambos lados são zero; se x,y\neq0 escrevendo x=\operatorname{sgn}(x)\,|x| e y=\operatorname{sgn}(y)\,|y| obtém-se xy=\operatorname{sgn}(x)\operatorname{sgn}(y)\,|x||y| e tomando módulo sobra |xy|=|x||y|.

Passo 4

Aplicando isso diretamente ao nosso f:
f(xy)=|xy| = |x|\,|y| = f(x)\,f(y),
para todo x,y\in\mathbb{R}. Logo f preserva a operação multiplicativa em todos os pares de reais.

Passo 5

Verificando identidade (um detalhe útil para provas): o elemento neutro da multiplicação é 1. Temos
f(1)=|1|=1,
ou seja, f envia identidade em identidade — bom sinal de homomorfismo.

Passo 6

Observação importante sobre a modelagem (não pule isso na prova!): tecnicamente, na teoria de grupos o símbolo (\mathbb{R},\cdot) costuma não designar um grupo porque 0 não tem inverso multiplicativa. Então:
  • Se o enunciado quis dizer “homomorfismo de grupos”, há um problema: (\mathbb{R},\cdot) não é grupo. Não se pode falar em homomorfismo de grupos entre objetos que não são grupos.
  • Se, no entanto, o enunciado permite estruturas mais fracas (semigrupos ou monoides) ou foi apenas descuidado e quis dizer “a estrutura multiplicativa sobre \mathbb{R}” (monóide com unidade 1), então a verificação feita acima é válida e f é homomorfismo de monóides/semigrupos.

Passo 7

Caso o professor espere uma versão correta como homomorfismo de grupos, a correção natural é considerar
  • domínio \mathbb{R}^\times=\mathbb{R}\setminus\{0\} (grupo multiplicativo dos reais não nulos) e
  • contradomínio \mathbb{R}_{>0} (grupo multiplicativo dos reais positivos).
    Nessa versão, f:\mathbb{R}^\times\to\mathbb{R}_{>0}, f(x)=|x|, continua valendo
f(xy)=|xy|=|x||y|=f(x)f(y),
e aí tudo é estritamente grupo: \mathbb{R}^\times e \mathbb{R}_{>0} são grupos e f é um homomorfismo de grupos.

Passo 8

Complemento útil (para a prova): núcleo e imagem da aplicação (ajuda a entender o que é o homomorfismo).
  • Núcleo (caso domínio seja \mathbb{R}^\times ou \mathbb{R} visto como monóide): \ker f=\{x\mid f(x)=1\}=\{x\mid |x|=1\}=\{-1,1\}.
  • Imagem:
    • Se o domínio for \mathbb{R} (incluindo 0), então \operatorname{Im}f=[0,\infty).
    • Se o domínio for \mathbb{R}^\times, então \operatorname{Im}f=(0,\infty)=\mathbb{R}_{>0}.

Resposta

Sim, f preserva a multiplicação porque f(xy)=|xy|=|x|\,|y|=f(x)f(y) para todos x,y\in\mathbb{R}; portanto f é um homomorfismo de monóides/semigrupos multiplicativos.
Observação: (\mathbb{R},\cdot) não é grupo (zero não tem inverso); se a intenção for homomorfismo de grupos, interprete f:\mathbb{R}^\times\to\mathbb{R}_{>0}, onde f também é um homomorfismo de grupos.

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