Em cada caso, verifique se
is um homomorfismo.
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede (peguei tudo do enunciado):
- Domínio e contradomínio:
e . - Aplicação dada:
definida por . - Pergunta: verificar se
é um homomorfismo (ou seja, se preserva a operação multiplicativa).
Passo 2
Definição prática de homomorfismo que vou usar (explicando bem):
- Uma aplicação
entre duas estruturas com operação binária (aqui ambas usam multiplicação) é homomorfismo se, para todo no domínio, vale
- Isso é tudo: “preservar a operação”. Não é preciso, para verificar essa igualdade, checar inversos ou identidade a princípio — embora seja útil também verificar identidade e núcleo depois.
Passo 3
Vou verificar a propriedade crucial
para
.
- Conhecimento usado: a função valor absoluto satisfaz, para quaisquer
,
- Justificativa curta e intuitiva dessa propriedade: o sinal de
é o produto dos sinais de e ; o valor absoluto elimina sinal, então o módulo do produto é o produto dos módulos. Formalmente, se ou ambos lados são zero; se escrevendo e obtém-se e tomando módulo sobra .
Passo 4
Aplicando isso diretamente ao nosso
:
para todo
. Logo
preserva a operação multiplicativa em todos os pares de reais.
Passo 5
Verificando identidade (um detalhe útil para provas): o elemento neutro da multiplicação é
. Temos
ou seja,
envia identidade em identidade — bom sinal de homomorfismo.
Passo 6
Observação importante sobre a modelagem (não pule isso na prova!): tecnicamente, na teoria de grupos o símbolo
costuma não designar um grupo porque
não tem inverso multiplicativa. Então:
- Se o enunciado quis dizer “homomorfismo de grupos”, há um problema:
não é grupo. Não se pode falar em homomorfismo de grupos entre objetos que não são grupos. - Se, no entanto, o enunciado permite estruturas mais fracas (semigrupos ou monoides) ou foi apenas descuidado e quis dizer “a estrutura multiplicativa sobre
” (monóide com unidade ), então a verificação feita acima é válida e é homomorfismo de monóides/semigrupos.
Passo 7
Caso o professor espere uma versão correta como homomorfismo de grupos, a correção natural é considerar
- domínio
(grupo multiplicativo dos reais não nulos) e - contradomínio
(grupo multiplicativo dos reais positivos).
Nessa versão,, , continua valendo
e aí tudo é estritamente grupo:
e
são grupos e
é um homomorfismo de grupos.
Passo 8
Complemento útil (para a prova): núcleo e imagem da aplicação (ajuda a entender o que é o homomorfismo).
- Núcleo (caso domínio seja
ou visto como monóide): . - Imagem:
- Se o domínio for
(incluindo ), então . - Se o domínio for
, então .
- Se o domínio for
Resposta
Sim,
preserva a multiplicação porque
para todos
; portanto
é um homomorfismo de monóides/semigrupos multiplicativos.
Observação: não é grupo (zero não tem inverso); se a intenção for homomorfismo de grupos, interprete
, onde
também é um homomorfismo de grupos.
Observação: