Em cada caso, verifique se
is um homomorfismo.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação
é um homomorfismo, onde:
-
(o grupo dos inteiros com adição); -
(mesmo tipo de grupo); - a função está dada por
para .
A pergunta clara é: a condição de homomorfismo é satisfeita por esta
? (ou seja, será que
para todos
?)
Passo 2
O que significa ser homomorfismo entre dois grupos aditivos?
Por definição, é um homomorfismo de
em
se, e somente se,
Por definição,
Explicando: essa fórmula diz que aplicar
ao somatório
dá o mesmo resultado que aplicar
separadamente a
e a
e depois somar os resultados. É a preservação da operação (a adição).
Passo 3
Uma consequência útil e simples dessa propriedade é que um homomorfismo de grupos preserva o elemento neutro. Vou mostrar isso passo a passo. Seja
o elemento neutro de
. Se
é homomorfismo então
Subtraindo
dos dois lados (na aritmética dos inteiros), obtemos
Portanto, qualquer homomorfismo entre grupos aditivos envia
em
. Isso é um teste rápido: calcular
; se não for
, então
não é homomorfismo.
Passo 4
Calcule
para a função dada:
Aqui usei os dados do enunciado: peguei
e substituí
. Como
e, pelo passo anterior, um homomorfismo exigiria
, já temos uma contradição. Logo
não pode ser homomorfismo.
Passo 5
Para reforçar, faço a verificação direta da propriedade de homomorfismo. Para quaisquer
:
enquanto
Os dois lados diferem por
, então em geral
. Por exemplo, escolhendo
e
:
claramente diferentes. Este é um contraexemplo explícito.
Passo 6
Um comentário teórico complementar (útil para a prova): toda aplicação
que seja homomorfismo é da forma
para algum
. A razão é que
e então por indução
para
e estende-se para negativos. Portanto qualquer termo constante adicionado (como o
em
) quebra a propriedade de homomorfismo; é preciso que a constante seja
. No nosso caso, a constante é
, então não funciona. Se a função fosse
, aí sim seria homomorfismo.
Passo 7
Conclusão final: a presença do termo constante
impede a preservação da adição e do elemento neutro, portanto a função
não é um homomorfismo de
em
.
Resposta
Não,
não é um homomorfismo.