Em cada caso, verifique se f: G \longrightarrow J is um homomorfismo.
G=(\mathbb{Z},+), J=(\mathbb{Z},+), f(x)=7 x+1

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação f: G \longrightarrow J é um homomorfismo, onde:
  • G=(\mathbb{Z},+) (o grupo dos inteiros com adição);
  • J=(\mathbb{Z},+) (mesmo tipo de grupo);
  • a função está dada por f(x)=7x+1 para x\in\mathbb{Z}.
A pergunta clara é: a condição de homomorfismo é satisfeita por esta f? (ou seja, será que f(a+b)=f(a)+f(b) para todos a,b\in\mathbb{Z}?)

Passo 2

O que significa ser homomorfismo entre dois grupos aditivos?
Por definição, f é um homomorfismo de (\mathbb{Z},+) em (\mathbb{Z},+) se, e somente se,
f(a+b)=f(a)+f(b)\qquad\text{para todos }a,b\in\mathbb{Z}.
Explicando: essa fórmula diz que aplicar f ao somatório a+b dá o mesmo resultado que aplicar f separadamente a a e a b e depois somar os resultados. É a preservação da operação (a adição).

Passo 3

Uma consequência útil e simples dessa propriedade é que um homomorfismo de grupos preserva o elemento neutro. Vou mostrar isso passo a passo. Seja 0 o elemento neutro de (\mathbb{Z},+). Se f é homomorfismo então
f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0).
Subtraindo f(0) dos dois lados (na aritmética dos inteiros), obtemos
0=f(0).
Portanto, qualquer homomorfismo entre grupos aditivos envia 0 em 0. Isso é um teste rápido: calcular f(0); se não for 0, então f não é homomorfismo.

Passo 4

Calcule f(0) para a função dada:
f(0)=7\cdot 0 + 1 = 1.
Aqui usei os dados do enunciado: peguei f(x)=7x+1 e substituí x=0. Como f(0)=1 e, pelo passo anterior, um homomorfismo exigiria f(0)=0, já temos uma contradição. Logo f não pode ser homomorfismo.

Passo 5

Para reforçar, faço a verificação direta da propriedade de homomorfismo. Para quaisquer a,b\in\mathbb{Z}:
f(a+b)=7(a+b)+1=7a+7b+1,
enquanto
f(a)+f(b)=(7a+1)+(7b+1)=7a+7b+2.
Os dois lados diferem por 1, então em geral f(a+b)\neq f(a)+f(b). Por exemplo, escolhendo a=0 e b=0:
f(0+0)=f(0)=1, \qquad f(0)+f(0)=1+1=2,
claramente diferentes. Este é um contraexemplo explícito.

Passo 6

Um comentário teórico complementar (útil para a prova): toda aplicação h:(\mathbb{Z},+)\to(\mathbb{Z},+) que seja homomorfismo é da forma
h(x)=k x
para algum k\in\mathbb{Z}. A razão é que k=h(1) e então por indução h(n)=n h(1)=kn para n\ge0 e estende-se para negativos. Portanto qualquer termo constante adicionado (como o +1 em 7x+1) quebra a propriedade de homomorfismo; é preciso que a constante seja 0. No nosso caso, a constante é 1, então não funciona. Se a função fosse g(x)=7x, aí sim seria homomorfismo.

Passo 7

Conclusão final: a presença do termo constante +1 impede a preservação da adição e do elemento neutro, portanto a função f(x)=7x+1 não é um homomorfismo de (\mathbb{Z},+) em (\mathbb{Z},+).

Resposta

Não, f não é um homomorfismo.

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