Determine os pontos em que a função f(x)=\left|x^{2}-4 x\right| não é derivável.

Passo 1

O enunciado pede os pontos em que a função
f(x)=\left|x^{2}-4x\right|
não é derivável. O conteúdo aqui é derivabilidade de funções com valor absoluto: precisamos identificar onde o argumento do módulo se anula e estudar as derivadas laterais nesses pontos.

Passo 2

Encontramos as raízes do polinômio dentro do módulo:
x^{2}-4x=0 \quad\Longrightarrow\quad x(x-4)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0\text{ ou }x=4.
Esses serão os candidatos a não derivabilidade.

Passo 3

Vamos reescrever f(x) em forma piecewise conforme o sinal de x^{2}-4x.
f(x)= \begin{cases} x^{2}-4x, & x\le0\text{ ou }x\ge4,\\\\ -(x^{2}-4x)= -x^{2}+4x, & 0<x<4. \end{cases}

Passo 4

Calculamos a derivada em cada região onde f é dada por polinômio:
Para x<0 ou x>4:
f'(x)=\frac{d}{dx}(x^{2}-4x)=2x-4.
Para 0<x<4:
f'(x)=\frac{d}{dx}(-x^{2}+4x)=-2x+4.

Passo 5

Agora avaliamos as derivadas laterais nos pontos críticos:
Em x=0:
f'(0^-)=2\cdot0-4=-4, \qquad f'(0^+)=-2\cdot0+4=4,
como -4\neq4, f não é derivável em x=0.
Em x=4:
f'(4^-)= -2\cdot4+4=-4, \qquad f'(4^+)=2\cdot4-4=4,
como -4\neq4, f não é derivável em x=4.

Resposta

A função não é derivável em x=0 e em x=4.

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