Em cada caso, verifique que as funções dadas são soluções LI da edo indicada e determine a solução geral.
y1(x)=cos x e y2(x)=sen x; y^(4)-4 y^prime prime prime+7 y^prime prime-4 y^prime+6 y=0;

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO linear de ordem quatro com coeficientes constantes
y^(4) - 4y''' + 7y'' - 4y' + 6y = 0,
e sugere as funções
y1(x)=cos x, y2(x)=sen x
Precisamos (i) verificar que y1 e y2 são soluções linearmente independentes (LI) e (ii) determinar a solução geral da EDO usando todas as raízes da equação característica.

Passo 2

Verificamos a independência linear calculando o Wronskiano de y1 e y2:
W(y1,y2)(x) = cos x & sen x -sen x & cos x =cos^2 x+sen^2 x=1neq 0
Como o Wronskiano é constante não nulo, y1 e y2 são LI.

Passo 3

Escrevemos a equação característica associada à EDO:
r^4 - 4r^3 + 7r^2 - 4r + 6 = 0

Passo 4

Fatoramos o polinômio dividindo por r^2+1 (correspondente a pm i):
r^4 - 4r^3 + 7r^2 - 4r + 6 = (r^2+1),(r^2 - 4r + 6)

Passo 5

Resolvemos a outra quadrática:
r^2 - 4r + 6 = 0 Longrightarrow r = 4pmraiz16-242 = 2pm iraiz2
Isso gera as soluções e^2xcos(raiz2x) e e^2xsen(raiz2x).

Passo 6

Reunimos as quatro soluções independentes:
cos x,;sen x,;e^2xcos(raiz2x),;e^2xsen(raiz2x).
Assim, a solução geral da EDO é
y(x)=C1cos x + C2sen x + e^2xl(C3cos(raiz2x)+C4sen(raiz2x)r)

Resposta

As funções cos x e sen x são LI (Wronskiano igual a 1) e a solução geral da EDO é
y(x)=C1cos x + C2sen x + e^2xl(C3cos(raiz2x)+C4sen(raiz2x)r)

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