Determine :
uma equação da reta tangente a y=(1+2 x)^3(1+x+x^2)^5 no ponto (0,1)

Passo 1

Resumindo: temos a função
y=(1+2x)^3,(1+x+x^2)^5
e queremos a reta tangente no ponto (0,1).
Conteúdo: derivada de produto e regra da cadeia, aqui aplicada por diferenciação logarítmica.

Passo 2

Definimos
u(x)=1+2x, v(x)=1+x+x^2,
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y=u^3v^5
Fazendo logaritmo e derivando, obtemos
ln y=3ln u+5ln v implies y'y=3u'u+5v'v

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v:
u'(x)=2, v'(x)=1+2x
No ponto x=0 vale
u(0)=1, v(0)=1, u'(0)=2, v'(0)=1
Substituindo em tfracy'y:
y'(0)y(0) =321+511 =6+5=11

Passo 4

Como y(0)=(1)^3(1)^5=1, segue
y'(0)=11cdot y(0)=11
Portanto, a inclinação da reta tangente é m=11.

Passo 5

Usando a forma ponto-inclinação y-y0=m(x-x0) com (x0,y0)=(0,1) e m=11, obtemos
y-1=11(x-0) Longrightarrow y=11x+1

Resposta

A equação da reta tangente é
boxedy=11x+1

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