Em cada um dos casos abaixo determine a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico da função dada por y=f(x) no ponto (x0, f(x0)).
f(x)=2 raizx^2-4, x0=3,

Passo 1

O enunciado pede as equações da reta tangente e da reta normal ao gráfico de y=f(x) no ponto l(x0,f(x0)r). Aqui temos f(x)=2raizx^2-4 e x0=3. Para isso precisaremos
1. calcular o valor de f(3),
2. obter a derivada f'(x) e avaliá-la em x=3 (coeficiente angular da tangente),
3. usar a forma ponto-declive para a reta tangente e inverter o coeficiente para a normal.

Passo 2

Calculando o valor de f no ponto dado:
f(3)=2raiz3^2-4=2raiz9-4=2raiz5

Passo 3

Usando regra da cadeia para derivar:
f'(x)=2cdot12(x^2-4)^-tfrac12cdot 2x=2xraizx^2-4
Avaliando em x=3:
f'(3)=2cdot 3raiz9-4=6raiz5

Passo 4

A reta tangente no ponto l(3,2raiz5r) com coeficiente angular mrm t=6/raiz5 é dada por
y-2raiz5=6raiz5,(x-3)

Passo 5

A reta normal tem coeficiente angular mrm n=-1/mrm t=-raiz56 e, passando pelo mesmo ponto, vale
y-2raiz5=-raiz56,(x-3)

Resposta

Reta tangente: y - 2raiz5 = 6raiz5 (x - 3).
Reta normal: y - 2raiz5 = - raiz56 (x - 3).

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