Em cada um dos casos abaixo determine a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico da função dada por y=f(x) no ponto (x0, f(x0)).
f(x)=xx-1, x0=2;

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de f(x)=xx-1 no ponto l(x0,f(x0)r) com x0=2. Vamos precisar de dois ingredientes principais:
  1. o valor de f(2) para localizar o ponto,
  2. a derivada f'(x) para obter o coeficiente angular da tangente e, em seguida, o da normal (que é o negativo recíproco do coeficiente da tangente).

Passo 2

Para encontrar f'(x), aplicamos a regra do quociente em
f(x)=xx-1
Temos
f'(x) =(x-1)cdot 1 - xcdot 1(x-1)^2 =-1(x-1)^2

Passo 3

Agora avaliamos em x=2:
f(2)=22-1=2,
f'(2)=-1(2-1)^2=-1
Logo o ponto de tangência é (2,2), o coeficiente angular da reta tangente é
mt=f'(2)=-1
e o da reta normal é o negativo recíproco,
mn=-1mt=-1-1=1

Passo 4

A reta tangente, usando a fórmula ponto-inclinação y - y0 = mt(x - x0), fica
y - 2 = -1,(x - 2)
e, ao simplificar,
y = -x + 4

Passo 5

A reta normal, com coeficiente mn=1, usa a mesma fórmula:
y - 2 = 1,(x - 2)
que se simplifica para
y = x

Resposta

Reta tangente: y = -x + 4
Reta normal: y = x

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