Q 58 No decorrer de uma experiência, derrama-se um líquido sobre uma superfície plana de vidro. Se o líquido vertido recobre uma região circular e o raio desta região aumenta uniformemente, qual será a taxa de crescimento da área ocupada pelo líquido, em relação à variação do raio, quando o raio for igual a 5 cm ? Interprete o resultado obtido.
Atenção: (1) A taxa de crescimento da área é a sua taxa de variação; (2) A área do círculo, de raio , é .
Passo 1
O enunciado quer a taxa de variação da área de um círculo em função da variação do seu raio. O conteúdo é cálculo de derivada de uma função real. Temos a área dada por
e queremos encontrar no ponto ,cm.
Passo 2
Para achar a taxa de variação de em relação a usamos a derivada
Aplicando a regra de potência, obtemos
Passo 3
Agora basta avaliar em ,cm:
Passo 4
Interpretação: quando o raio está em 5,cm, cada aumento de 1,cm no raio faz a área crescer em 10pi,cm^2 (aproximadamente 31,4,cm^2).