Q 58 No decorrer de uma experiência, derrama-se um líquido sobre uma superfície plana de vidro. Se o líquido vertido recobre uma região circular e o raio desta região aumenta uniformemente, qual será a taxa de crescimento da área ocupada pelo líquido, em relação à variação do raio, quando o raio for igual a 5 cm ? Interprete o resultado obtido.
Atenção: (1) A taxa de crescimento da área é a sua taxa de variação; (2) A área do círculo, de raio r, é A(r)=pi r^2.

Passo 1

O enunciado quer a taxa de variação da área de um círculo em função da variação do seu raio. O conteúdo é cálculo de derivada de uma função real. Temos a área dada por
A(r)=pi r^2
e queremos encontrar dfracdAdr no ponto r=5,cm.

Passo 2

Para achar a taxa de variação de A em relação a r usamos a derivada
dAdr = ddrl(pi r^2r)
Aplicando a regra de potência, obtemos
dAdr = pi cdot 2r = 2pi r

Passo 3

Agora basta avaliar em r=5,cm:
dAdr|r=5 = 2pi cdot 5 = 10pi

Passo 4

Interpretação: quando o raio está em 5,cm, cada aumento de 1,cm no raio faz a área crescer em 10pi,c m^2 (aproximadamente 31,4,c m^2).

Resposta

dAdr|r=5 = 10picm^2/cm

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