Em cada um dos casos abaixo, diga se a matriz se encontra reduzida na forma escada ou não. No caso negativo, diga quais itens da definição de forma escada foram violados e reduza a matriz.
c)
H=\left[\begin{array}{lllll}1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
H=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}
e pede: (a) dizer se a matriz já está reduzida na forma escada reduzida; (b) se não estiver, indicar quais itens da definição de forma escada foram violados; (c) reduzir a matriz (isto é, aplicar operações de linha permitidas até obter a forma escada reduzida).
As informações relevantes que temos:
  • É dada explicitamente a matriz H de ordem 3\times5.
  • A segunda linha é a linha nula \begin{bmatrix}0&0&0&0&0\end{bmatrix}.
  • A primeira e terceira linhas são não nulas, com pivôs (entradas líderes) nas colunas 1 e 3, respectivamente.]

Passo 2

Antes de checar, vamos fixar claramente a definição prática de “forma escada reduzida” (vou enumerar as condições de forma clara — copie essas condições para a prova, elas são úteis):
Condições da forma escada reduzida (cada item deve valer):
  1. Toda linha nula (linha com todos zeros) fica abaixo de todas as linhas não nulas. Em outras palavras: linhas totalmente zero aparecem por último, na parte inferior da matriz.
  2. Em cada linha não nula, a primeira entrada não nula (chamada de entrada líder ou pivot) é igual a 1.
  3. Cada pivot 1 está à direita do pivot da linha imediatamente acima (ou seja, os pivôs “andam para a direita” quando descemos nas linhas).
  4. Cada pivot 1 é o único elemento não nulo em sua coluna (ou seja, nessa coluna todos os outros elementos são 0).
Explicando termos com calma:
  • “Linha nula” = linha cujas cinco entradas são todas zero.
  • “Entrada líder/pivot” = primeiro número diferente de zero da linha, olhando da esquerda para a direita.
  • As operações de linha permitidas na redução são: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo e adicionar múltiplos de uma linha a outra. Para obter a forma escada reduzida normalmente usamos eliminação para zerar acima e abaixo dos pivôs e movemos linhas nulas para baixo por permutações.

Passo 3

Agora vamos checar cada condição na matriz H dada. Primeiro, escrevo as linhas e seus pivôs:
R_1=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\quad (\text{pivot em coluna }1),
R_2=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\quad (\text{linha nula}),
R_3=\begin{bmatrix}0 & 0 & 1 & 0 & 2\end{bmatrix}\quad (\text{pivot em coluna }3).
Checagem do item 1: “linhas nulas abaixo das não nulas”.
  • Aqui a linha nula R_2 está entre R_1 e R_3, ou seja, uma linha nula não está na parte inferior. Logo a condição 1 é violada.

Passo 4

Checagem do item 2: "cada linha não nula tem pivot igual a 1".
  • Em R_1 o primeiro elemento não nulo é 1 (coluna 1).
  • Em R_3 o primeiro elemento não nulo é 1 (coluna 3).
    Portanto a condição 2 está satisfeita.

Passo 5

Checagem do item 3: “cada pivot está à direita do pivot da linha anterior”.
  • O pivot de R_1 está na coluna 1 e o pivot de R_3 está na coluna 3. Como 3>1, os pivôs vão para a direita ao descer. Logo a condição 3 está satisfeita.

Passo 6

Checagem do item 4: “cada pivot é o único elemento não nulo na sua coluna”.
  • Na coluna 1: só temos 1 em R_1 e zeros nas outras linhas — ok.
  • Na coluna 3: só temos 1 em R_3 e zeros nas outras linhas — ok.
    Portanto a condição 4 está satisfeita.

Passo 7

Conclusão da verificação:
  • Apenas a condição 1 (linhas nulas abaixo das não nulas) foi violada. As demais condições (2, 3 e 4) estavam satisfeitas.
  • Assim, a matriz H não está na forma escada reduzida apenas porque a linha nula aparece no meio; basta mover (trocar) a linha nula para baixo para obter a forma escada reduzida.
Vamos reduzir a matriz aplicando uma operação simples: trocar R_2 por R_3 (troca de linhas é uma operação elementar permitida).
Aplicando R_2 \leftrightarrow R_3 obtemos
H'=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.]

Passo 8

Verificação final de que H' está na forma escada reduzida:
  • Todas as linhas nulas (aqui apenas a terceira) estão abaixo das não nulas — ok.
  • Em cada linha não nula, o primeiro não zero é 1 ( R_1 pivot coluna 1, R_2 pivot coluna 3) — ok.
  • Os pivôs vão para a direita ao descer ( 1 em coluna 1 acima de 1 em coluna 3) — ok.
  • Cada pivot é o único não zero em sua coluna (coluna 1 e coluna 3 têm zeros nas outras linhas) — ok.
Portanto H' é de fato a forma escada reduzida (RREF) de H.

Resposta

Não — violou a condição de que todas as linhas nulas devem ficar abaixo das linhas não nulas (a linha 2 é nula e está entre linhas não nulas).
Matriz reduzida:
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}]

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