Em cada um dos casos abaixo, diga se a matriz se encontra reduzida na forma escada ou não. No caso negativo, diga quais itens da definição de forma escada foram violados e reduza a matriz.
a)
A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\\ 0 & 1 & -1 & 0 \\\ 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right] .

Passo 1

O enunciado pede: verificar se a matriz abaixo se encontra reduzida na forma escada (forma escada reduzida / RREF). Se não estiver, indicar quais itens da definição de forma escada foram violados e reduzir a matriz (usar operações elementares de linha).
A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\[4pt]0 & 1 & -1 & 0 \\[4pt]0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right]
Informações relevantes dadas: a matriz A é 3\times4 com linhas
\text{linha 1 }=(1,0,0,0),\qquad \text{linha 2 }=(0,1,-1,0),\qquad \text{linha 3 }=(0,0,1,0).]

Passo 2

Vou lembrar a definição prática de forma escada reduzida (RREF). Uma matriz está na forma escada reduzida se e somente se satisfaz todas as quatro condições abaixo:
\begin{array}{ll} (1) & \text{Todas as linhas nulas (se houver) ficam abaixo das linhas não nulas.} \\[4pt] (2) & \text{O primeiro elemento não nulo de cada linha não nula (o pivô) é }1. \\[4pt] (3) & \text{Cada pivô está à direita do pivô da linha acima (formando degraus).} \\[4pt] (4) & \text{Cada pivô é o único elemento não nulo em sua coluna (ou seja, a coluna do pivô}\\\ &\quad\text{é um vetor canônico com um único 1).} \end{array}ãããôéôáàôôéúãôéôú
Explicação curta de cada item:
  • (1) garante que as linhas nulas estão no final, nada muito sofisticado.
  • (2) normaliza pivôs para 1, isso facilita interpretações.
  • (3) garante a propriedade “escada”: os pivôs avançam para a direita conforme descemos.
  • (4) é o que torna a forma “reduzida”: além de pivôs serem 1, todas as outras entradas nessas colunas devem ser 0 (nada acima nem abaixo do 1).]

Passo 3

Verificação do item (1): não há nenhuma linha nula em A (todas as três linhas têm algum elemento não nulo). Portanto o item (1) está satisfeito.

Passo 4

Verificação do item (2): identifiquemos os pivôs (primeiro elemento não nulo de cada linha).
  • Linha 1: primeiro não nulo em coluna 1 e vale 1.
  • Linha 2: primeiro não nulo em coluna 2 e vale 1.
  • Linha 3: primeiro não nulo em coluna 3 e vale 1.
    Logo, todos os pivôs são 1. O item (2) está satisfeito.

Passo 5

Verificação do item (3): posições dos pivôs por linhas são nas colunas 1,2,3 (cada pivô aparece em coluna mais à direita que o pivô da linha acima). Portanto o item (3) também está satisfeito: a matriz já tem a estrutura de degraus.

Passo 6

Verificação do item (4): precisamos que, para cada pivô, todas as outras entradas na sua coluna sejam zero.
  • Coluna 1 (pivô da linha 1): tem zeros nas linhas 2 e 3 — OK.
  • Coluna 2 (pivô da linha 2): tem zeros nas linhas 1 e 3 — OK.
  • Coluna 3 (pivô da linha 3): tem em \text{linha 3} o valor 1 (o pivô), mas em \text{linha 2} o valor -1. Ou seja, a coluna 3 tem dois elementos não nulos: -1 na linha 2 e 1 na linha 3. Isso viola o item (4).
    Portanto o item (4) NÃO está satisfeito.

Passo 7

Conclusão parcial: a matriz A está em forma escada (satisfaz (1),(2),(3)) mas não está na forma escada reduzida (RREF) porque viola o item (4): a coluna do pivô da linha 3 contém um -1 na linha 2.
Agora vamos reduzir a matriz para RREF usando operações elementares de linha (essas operações preservam o espaço de linhas e são permitidas):
Queremos zerar o -1 na posição (2,3) (linha 2, coluna 3). Como o pivô da linha 3 é 1 nessa coluna, podemos realizar
\text{linha}_2 \leftarrow \text{linha}_2 + \text{linha}_3.
Vou calcular componente a componente a nova linha 2:
  • coluna 1: 0 + 0 = 0,
  • coluna 2: 1 + 0 = 1,
  • coluna 3: -1 + 1 = 0,
  • coluna 4: 0 + 0 = 0.

Passo 8

Aplicando a operação obtemos a matriz reduzida
A_{\text{rref}}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\[4pt]0 & 1 & 0 & 0 \\[4pt]0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right].
Verificação rápida: agora cada pivô (colunas 1,2,3) é 1 e é o único elemento não nulo em sua coluna; condição (4) passa a ser satisfeita. As demais condições já estavam satisfeitas. Portanto A_{\text{rref}} está na forma escada reduzida.]

Resposta

Não; violou o item (4) da definição (cada pivô deve ser o único elemento não nulo na sua coluna).
A_{\text{rref}}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\[4pt]0 & 1 & 0 & 0 \\[4pt]0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right]]

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