Em cada um dos casos abaixo, diga se a matriz se encontra reduzida na forma escada ou não. No caso negativo, diga quais itens da definição de forma escada foram violados e reduza a matriz.
b)
Dizer se a matriz se encontra reduzida na forma escada (ou seja, na forma escada reduzida).
Se não estiver, indicar quais itens da definição de forma escada foram violados.
Reduzir a matriz até a forma escada reduzida.]
Passo 2
Vamos fixar exatamente o que significa “forma escada reduzida” (vou explicar devagarinho, como combinado).
Definição (forma escada reduzida, passo a passo):
Todas as linhas nulas (se houver) aparecem abaixo de todas as linhas não nulas.
Ou seja: linhas de zeros só podem aparecer nas linhas mais abaixo da matriz.
Em cada linha não nula, o primeiro elemento diferente de zero (chamado de “entrada principal” ou “pivot”) é igual a 1.
Ou seja: o pivot de cada linha não nula deve ser 1.
Os pivôs aparecem em colunas que vão deslocando para a direita a cada linha que desce.
Formalmente: se a primeira linha não nula tem pivot na coluna j_1, a segunda não nula tem pivot em alguma coluna j_2 com j_2>j_1, e assim por diante.
Cada pivot é o único elemento não nulo em sua coluna.
Ou seja: na coluna de um pivot, todos os outros elementos (acima e abaixo) devem ser zero.
Observação sobre operações: para obter a forma escada reduzida podemos usar operações elementares sobre linhas: trocar linhas, multiplicar uma linha por uma constante não nula, e somar a múltiplos de uma linha a outra linha. Essas operações não mudam o espaço linha e mantêm as propriedades relevantes.
Passo 3
Vamos verificar cada item da definição na matriz dada. Reescrevo B:
Identificação das linhas não nulas e seus primeiros elementos não nulos:
Linha 1: \begin{pmatrix}0 & 2 & 1\end{pmatrix}. O primeiro elemento não nulo está na coluna 2 e vale 2.
Linha 2: \begin{pmatrix}1 & 0 & -3\end{pmatrix}. O primeiro elemento não nulo está na coluna 1 e vale 1.
Linha 3 é a linha nula.
Agora compare com os itens:
Item 1 (linhas nulas embaixo): satisfeito, porque a única linha nula (linha 3) já está embaixo.
Item 2 (o primeiro elemento não nulo em cada linha deve ser 1): violado para a linha 1, pois o primeiro elemento não nulo é 2, não 1.
Item 3 (pivôs deslocam para a direita à medida que descemos): violado, pois a linha 1 tem seu primeiro elemento não nulo na coluna 2, enquanto a linha 2 tem o primeiro elemento não nulo na coluna 1. Assim, ao descer, o pivot foi para a esquerda (de 2 para 1), o que quebra o formato escada.
Item 4 (cada pivot é o único elemento não nulo em sua coluna): vamos checar as colunas candidatas a pivôs na forma atual:
Coluna 1 tem entradas (0,1,0) — se fosse pivot na linha 2, é já o único não nulo nesta coluna (ok).
Coluna 2 tem entradas (2,0,0) — se fosse pivot na linha 1, temos um não zero na posição do pivot, mas falta ser 1 (violação do item 2). Além disso, para ser forma reduzida, esse pivot deveria ser o único não nulo na coluna; aqui ele é (apenas o 2 está nessa coluna), então item 4 não é problema agora, o problema é item 2 e 3.
Conclusão da checagem: a matriz NÃO está em forma escada reduzida. Foram violados ao menos os itens 2 e 3 da definição.]
Passo 4
Plano de redução (o que faremos e por quê):
Queremos que o primeiro pivot fique na primeira linha, primeira coluna (se possível), e o segundo pivot numa coluna à direita do primeiro. A matriz já tem um 1 na coluna 1 (na linha 2), então é natural trocar a linha 1 com a linha 2 para que a linha com pivot em coluna 1 fique acima.
Depois, escalaremos a linha que tem pivot não-unidade para tornar esse pivot igual a 1.
Finalmente, garantimos que nas colunas de pivôs os outros elementos sejam zero (no nosso caso não há necessidade de eliminar nada em cima/embaixo depois da escolha correta da ordem, mas sempre verificamos).
Lembre-se: as operações elementares permitidas são exatamente:
R_i \leftrightarrow R_j (trocar linhas),
R_i \leftarrow c\,R_i com c\neq 0 (multiplicar linha por constante),
R_i \leftarrow R_i + c\,R_j (somar a uma linha um múltiplo de outra).
Passo 5
Aplicando as operações (vou escrever cada operação e a matriz resultante).
Trocar as linhas 1 e 2 para colocar o pivot da coluna 1 na linha superior:
Agora a primeira linha tem pivot 1 na coluna 1 (ótimo) e a segunda linha tem pivot candidato na coluna 2 (valor 2) — a ordem dos pivôs está correta (coluna 1 depois coluna 2).
Tornar o pivot da segunda linha igual a 1. Atualmente a segunda linha é \begin{pmatrix}0 & 2 & 1\end{pmatrix}. Multiplicamos a segunda linha por \tfrac{1}{2}:
Agora verificamos o item 4: cada pivot deve ser o único não nulo em sua coluna.
Coluna 1 (pivot na linha 1) tem entradas (1,0,0) — já é o único não nulo.
Coluna 2 (pivot na linha 2) tem entradas (0,1,0) — também já é o único não nulo.
Assim, não é necessário somar múltiplos de linhas para zerar elementos em pivôs (já estão zerados).
Portanto a matriz obtida é a forma escada reduzida.]
Passo 6
Verificação final da matriz reduzida: a matriz atual é
Os pivôs estão em colunas que se deslocam para a direita à medida que descemos: pivot na coluna 1 (linha 1), next pivot na coluna 2 (linha 2) — OK.
Cada pivot é o único não nulo em sua coluna — OK.
Então esta matriz é a forma escada reduzida (RREF) de B.]
Resposta
Não está em forma escada reduzida.
Itens violados: o item 2 (cada primeira entrada não nula devia ser 1; na linha 1 original o pivot valia 2) e o item 3 (os pivôs não estavam deslocando para a direita ao descer: a linha 1 tinha primeiro não nulo na coluna 2 enquanto a linha 2 tinha na coluna 1).
Matriz reduzida: