Em cada um dos casos abaixo encontre as equações do plano tangente e da reta normal no ponto
dado.
A superfície
em
A superfície
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a superfície dada no ponto
: \n
- A equação do plano tangente em
. \n - A equação da reta normal em
. \n
As informações fornecidas são: a superfície é dada pela equaçãoe o ponto é . Não há mais informações nem figuras.
Passo 2
Ideia básica que vamos usar (explicação didática): \n
Quando uma superfície é dada implicitamente por , o vetor gradiente
é um vetor normal à superfície em cada ponto. Aqui “vetor normal” quer dizer um vetor perpendicular a todo vetor tangente ao ponto da superfície. \n
O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
Quando uma superfície é dada implicitamente por
O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
Breve intuição: a derivada parcial
mede como
muda quando você move só em
; combinando as três, o gradiente aponta para a direção de maior aumento de
, e isso é perpendicular às curvas de nível
, que são exatamente as superfícies que queremos.
Passo 3
Aplicando a ideia ao nosso caso: \n
Definimos
Definimos
pois a superfície
é o conjunto de pontos onde
. \n
Calculamos as derivadas parciais:
Calculamos as derivadas parciais:
Logo o gradiente é
Como as componentes são constantes, o vetor normal é o mesmo em todo ponto da superfície.
Passo 4
Avaliando o gradiente no ponto
obtemos o vetor normal em
:
Agora, a equação geral do plano tangente a uma superfície implícita em
é
Substituindo
e
obtemos
Simplificando,
Observação didática: neste caso a superfície original já é um plano linear; por isso o plano tangente coincide exatamente com a própria superfície.
Passo 5
Agora a reta normal: \n
A reta normal passa por e tem direção dada pelo vetor normal
. A forma paramétrica da reta com parâmetro
é
A reta normal passa por
Escrevendo componente a componente:
Também podemos escrever na forma simétrica:
Interpretação prática: para
estamos em
; para
vamos para
, etc. O parâmetro
mede quanto a gente anda ao longo da direção normal.
Passo 6
Exemplo rápido para fixar (didático): \n
Se a superfície fosse uma esfera , então
e
. No ponto
da esfera a equação do plano tangente seria
, que simplifica para
. Isso mostra como o método do gradiente é geral e fácil de aplicar.
Se a superfície fosse uma esfera
Resposta
Plano tangente:
\n
Reta normal (paramétrica): (com
)
Reta normal (paramétrica):