Em cada um dos casos abaixo encontre as equações do plano tangente e da reta normal no ponto P_{0} dado.
A superfície x+y+z=2 em P_{0}=(1,1,0)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a superfície dada no ponto P_{0}=(1,1,0): \n
  1. A equação do plano tangente em P_{0}. \n
  2. A equação da reta normal em P_{0}. \n
    As informações fornecidas são: a superfície é dada pela equação x+y+z=2 e o ponto é P_{0}=(1,1,0). Não há mais informações nem figuras.

Passo 2

Ideia básica que vamos usar (explicação didática): \n
Quando uma superfície é dada implicitamente por \;F(x,y,z)=0\;, o vetor gradiente \nabla F(x,y,z) é um vetor normal à superfície em cada ponto. Aqui “vetor normal” quer dizer um vetor perpendicular a todo vetor tangente ao ponto da superfície. \n
O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
\nabla F(x,y,z)=\left(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z}\right).
Breve intuição: a derivada parcial \frac{\partial F}{\partial x} mede como F muda quando você move só em x; combinando as três, o gradiente aponta para a direção de maior aumento de F, e isso é perpendicular às curvas de nível F=\text{constante}, que são exatamente as superfícies que queremos.

Passo 3

Aplicando a ideia ao nosso caso: \n
Definimos
F(x,y,z)=x+y+z-2,
pois a superfície x+y+z=2 é o conjunto de pontos onde F(x,y,z)=0. \n
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial F}{\partial x}=1,\qquad \frac{\partial F}{\partial y}=1,\qquad \frac{\partial F}{\partial z}=1.
Logo o gradiente é
\nabla F(x,y,z)=(1,1,1).
Como as componentes são constantes, o vetor normal é o mesmo em todo ponto da superfície.

Passo 4

Avaliando o gradiente no ponto P_{0}=(1,1,0) obtemos o vetor normal em P_{0}:
\nabla F(P_{0})=(1,1,1).
Agora, a equação geral do plano tangente a uma superfície implícita em P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0}) é
\nabla F(P_{0})\cdot\bigl((x-x_{0}),(y-y_{0}),(z-z_{0})\bigr)=0.
Substituindo \nabla F(P_{0})=(1,1,1) e P_{0}=(1,1,0) obtemos
1\cdot(x-1)+1\cdot(y-1)+1\cdot(z-0)=0.
Simplificando,
x+y+z-2=0.
Observação didática: neste caso a superfície original já é um plano linear; por isso o plano tangente coincide exatamente com a própria superfície.

Passo 5

Agora a reta normal: \n
A reta normal passa por P_{0} e tem direção dada pelo vetor normal \nabla F(P_{0})=(1,1,1). A forma paramétrica da reta com parâmetro t\in\mathbb{R} é
(x,y,z)=(1,1,0)+t(1,1,1).
Escrevendo componente a componente:
x=1+t,\qquad y=1+t,\qquad z=0+t.
Também podemos escrever na forma simétrica:
\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-0}{1}.
Interpretação prática: para t=0 estamos em P_{0}; para t=1 vamos para (2,2,1), etc. O parâmetro t mede quanto a gente anda ao longo da direção normal.

Passo 6

Exemplo rápido para fixar (didático): \n
Se a superfície fosse uma esfera \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}\;, então F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2} e \nabla F=(2x,2y,2z). No ponto (a,b,c) da esfera a equação do plano tangente seria 2a(x-a)+2b(y-b)+2c(z-c)=0, que simplifica para ax+by+cz=R^{2}. Isso mostra como o método do gradiente é geral e fácil de aplicar.

Resposta

Plano tangente: x+y+z-2=0 \n
Reta normal (paramétrica): x=1+t,\;y=1+t,\;z=t (com t\in\mathbb{R})

Exercícios relacionados