Para cada função abaixo calcule os polinômios de Taylor de ordem 1 e 2 em p.
g(x, y)=e^{5 x}+y, p=(0,1)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular os polinômios de Taylor de ordem 1 e de ordem 2 da função g no ponto p.
Informações dadas:
g(x,y)=e^{5x}+y,\qquad p=(0,1).
Perguntas explícitas:
  • Calcular o polinômio de Taylor de ordem 1 de g centrado em p.
  • Calcular o polinômio de Taylor de ordem 2 de g centrado em p.

Passo 2

Fórmulas (fórmula geral e significado das quantidades, explicadas devagar):
O polinômio de Taylor de ordem 1 (aproximação linear) de uma função g em p usa o valor de g em p e o gradiente \nabla g(p). Se escrevemos o deslocamento como
h=(x-x_0,\;y-y_0),
então
T_1(p+h)=g(p)+\nabla g(p)\cdot h.
Aqui \nabla g(p) é o vetor das derivadas parciais em p e o produto \cdot é o produto escalar usual.
O polinômio de Taylor de ordem 2 usa também a matriz Hessiana H_g(p) (matriz das segundas derivadas parciais). A fórmula é
T_2(p+h)=g(p)+\nabla g(p)\cdot h+\tfrac{1}{2}\,h^{T}H_g(p)h.
Explicação das peças:
  • g(p) é o valor da função no ponto.
  • \nabla g(p)=(\partial_x g(p),\partial_y g(p)).
  • H_g(p)=\begin{pmatrix}\partial_{xx}g(p) & \partial_{xy}g(p)\\[4pt]\partial_{yx}g(p) & \partial_{yy}g(p)\end{pmatrix}.
  • h^T H_g(p) h é a forma quadrática que produz os termos quadráticos em x e y.]

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de g(x,y)=e^{5x}+y, explicando cada passo.
Derivada parcial em relação a x: aplicamos a regra da cadeia em e^{5x}. A derivada de e^{u} em relação a x é e^{u}\cdot u'. Aqui u=5x e u'=5. Logo
\partial_x g(x,y)=5e^{5x}.
Derivada parcial em relação a y: y é variável linear, então
\partial_y g(x,y)=1.

Passo 4

Agora as segundas derivadas parciais.
Derivada segunda em x:
derivando \partial_x g(x,y)=5e^{5x} novamente em relação a x, aplicamos outra vez a regra da cadeia: derivada de e^{5x} é 5e^{5x}. Multiplicando pelo 5 inicial,
\partial_{xx} g(x,y)=25 e^{5x}.
As derivadas mistas:
\partial_{xy} g(x,y)=\partial_x(\partial_y g)=\partial_x(1)=0,
\partial_{yy} g(x,y)=\partial_y(1)=0.
Portanto a Hessiana é diagonal com entradas 25e^{5x} e 0.

Passo 5

Avaliar função, gradiente e Hessiana no ponto p=(0,1).
Calcular e^{5\cdot 0}=e^0=1.
Valor da função em p:
g(0,1)=e^{0}+1=1+1=2.
Gradiente em p:
\partial_x g(0,1)=5e^{0}=5,\qquad \partial_y g(0,1)=1,
ou seja
\nabla g(0,1)=(5,\;1).
Hessiana em p:
\partial_{xx}g(0,1)=25e^{0}=25,\qquad \partial_{xy}g(0,1)=0,\qquad \partial_{yy}g(0,1)=0,
logo
H_g(0,1)=\begin{pmatrix}25 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Aqui usamos diretamente as expressões das derivadas calculadas nos passos anteriores e substituímos x=0.]

Passo 6

Construir o polinômio de ordem 1 usando a fórmula
T_1(p+h)=g(p)+\nabla g(p)\cdot h,
com h=(x-0,\;y-1)=(x,\;y-1).
Vamos calcular o produto escalar:
\nabla g(0,1)\cdot h = 5\cdot x + 1\cdot (y-1)=5x+(y-1).
Então
T_1(x,y)=g(0,1)+5x+(y-1)=2+5x+(y-1).
Simplificando:
T_1(x,y)=1+5x+y.

Passo 7

Construir o polinômio de ordem 2 usando
T_2(p+h)=g(p)+\nabla g(p)\cdot h+\tfrac{1}{2}\,h^{T}H_g(p)h.
Já temos g(p)=2 e \nabla g(p)\cdot h=5x+(y-1). Calculamos agora a forma quadrática:
com h=(x,\;y-1) e
H_g(0,1)=\begin{pmatrix}25 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},
temos
h^{T}H_g(0,1)h= (x,\;y-1)\begin{pmatrix}25 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt]y-1\end{pmatrix}=25x^2.
Portanto o termo quadrático é
\tfrac{1}{2}\,h^{T}H_g(0,1)h=\tfrac{1}{2}\cdot 25x^2=\tfrac{25}{2}x^2.
Juntando tudo:
T_2(x,y)=2+5x+(y-1)+\tfrac{25}{2}x^2.
Simplificando:
T_2(x,y)=1+5x+y+\tfrac{25}{2}x^2.]

Passo 8

Resumo rápido para memorização: para funções da forma e^{ax}+(\text{coisa em }y) as únicas segundas derivadas não nulas vêm do termo exponencial em x; daí aparecem apenas termos quadráticos em x no polinômio de ordem 2. Vai dar tudo certo na prova — respira e confia no passo a passo.

Resposta

T_1(x,y)=1+5x+y
T_2(x,y)=1+5x+y+\tfrac{25}{2}x^2

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