Para cada função abaixo calcule os polinômios de Taylor de ordem 1 e 2 em
.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular os polinômios de Taylor de ordem 1 e de ordem 2 da função
no ponto
.
Informações dadas:
Perguntas explícitas:
- Calcular o polinômio de Taylor de ordem 1 de
centrado em . - Calcular o polinômio de Taylor de ordem 2 de
centrado em .
Passo 2
Fórmulas (fórmula geral e significado das quantidades, explicadas devagar):
O polinômio de Taylor de ordem 1 (aproximação linear) de uma função
em
usa o valor de
em
e o gradiente
. Se escrevemos o deslocamento como
então
Aqui
é o vetor das derivadas parciais em
e o produto
é o produto escalar usual.
O polinômio de Taylor de ordem 2 usa também a matriz Hessiana
(matriz das segundas derivadas parciais). A fórmula é
Explicação das peças:
-
é o valor da função no ponto. -
. -
. -
é a forma quadrática que produz os termos quadráticos em e .]
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
, explicando cada passo.
Derivada parcial em relação a
: aplicamos a regra da cadeia em
. A derivada de
em relação a
é
. Aqui
e
. Logo
Derivada parcial em relação a
:
é variável linear, então
Passo 4
Agora as segundas derivadas parciais.
Derivada segunda em
:
derivando novamente em relação a
, aplicamos outra vez a regra da cadeia: derivada de
é
. Multiplicando pelo 5 inicial,
derivando
As derivadas mistas:
Portanto a Hessiana é diagonal com entradas
e
.
Passo 5
Avaliar função, gradiente e Hessiana no ponto
.
Calcular
.
Valor da função em
:
Gradiente em
:
ou seja
Hessiana em
:
logo
Aqui usamos diretamente as expressões das derivadas calculadas nos passos anteriores e substituímos
.]
Passo 6
Construir o polinômio de ordem 1 usando a fórmula
com
.
Vamos calcular o produto escalar:
Então
Simplificando:
Passo 7
Construir o polinômio de ordem 2 usando
Já temos
e
. Calculamos agora a forma quadrática:
com e
com
temos
Portanto o termo quadrático é
Juntando tudo:
Simplificando:
Passo 8
Resumo rápido para memorização: para funções da forma
as únicas segundas derivadas não nulas vêm do termo exponencial em
; daí aparecem apenas termos quadráticos em
no polinômio de ordem 2. Vai dar tudo certo na prova — respira e confia no passo a passo.