Encontre os extremantes locais das funções abaixo e classifique-os em pontos de máximo, de mínimo ou de sela
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os extremantes locais (pontos críticos) da função
e classificá‑los como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Informações dadas: a função explícita
Informações dadas: a função explícita
Não há restrições no domínio (assumimos
). As perguntas são: (1) quais pontos satisfazem as condições para ser extremante local? (2) para cada ponto encontrado, qual é a classificação (máximo, mínimo ou sela)?
Passo 2
O que é preciso fazer na prática: primeiro encontramos os pontos críticos, que são os pontos onde o gradiente de
é o vetor nulo (ou onde derivadas parciais não existem, mas aqui existem sempre). Em seguida usamos o teste das segundas derivadas (Hessiano) para classificar cada ponto crítico. Vou explicar cada conceito e fórmula enquanto aplico.
Passo 3
Definição e cálculo das derivadas parciais (passo didático): a derivada parcial de
em relação a
, chamada
, mede como
varia quando alteramos
mantendo
fixo. Analogamente
é a derivada parcial em relação a
, mantendo
fixo. Cálculo direto aplicando regras usuais de derivação:
Derivando
em relação a
(tratando
como constante):
Escrevendo fatorado (útil para resolver igual a zero):
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
Passo 4
Condição para pontos críticos: resolvemos o sistema
Substituindo as expressões que encontramos:
Da segunda equação vem imediatamente
. Da primeira,
implica
ou
, isto é
. Portanto os pontos críticos são
Passo 5
Agora precisamos classificar esses pontos. Vamos usar o teste das segundas derivadas (para funções de duas variáveis). Primeiro, definimos as segundas derivadas parciais:
O discriminante do Hessiano (às vezes chamado de
) é
Regra de classificação (explicando o porquê de forma simples): se
e
então
tem mínimo local; se
e
então máximo local; se
então ponto de sela; se
o teste é inconclusivo. Intuição curta:
e
dizem se a curvatura nas direções
e
é para cima ou para baixo; o determinante combina essas curvaturas.
Passo 6
Calculemos as segundas derivadas para a função dada:
Derivando
em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Derivando
em relação a
(ou
em relação a
):
pois não há termo misto
na função.
Passo 7
Avaliação no ponto
:
Calcule
. Já
e
. Então
Temos
e
. Pelo teste, isso implica que
é um ponto de mínimo local. (Curiosidade: o valor da função aí é
, se quiser comparar com outros pontos.)
Passo 8
Avaliação no ponto
:
Calcule
nesse ponto:
Temos
e
como antes. Então
Aqui
. Pelo teste das segundas derivadas, quando
o ponto crítico é ponto de sela. (Valor da função neste ponto:
, apenas para referência.)