Encontre os extremantes locais das funções abaixo e classifique-os em pontos de máximo, de mínimo ou de sela
f(x, y)=x^{3}+x^{2}+2 y^{2}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os extremantes locais (pontos críticos) da função f(x,y)=x^{3}+x^{2}+2y^{2} e classificá‑los como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Informações dadas: a função explícita
f(x,y)=x^{3}+x^{2}+2y^{2}.
Não há restrições no domínio (assumimos (x,y)\in\mathbb{R}^2). As perguntas são: (1) quais pontos satisfazem as condições para ser extremante local? (2) para cada ponto encontrado, qual é a classificação (máximo, mínimo ou sela)?

Passo 2

O que é preciso fazer na prática: primeiro encontramos os pontos críticos, que são os pontos onde o gradiente de f é o vetor nulo (ou onde derivadas parciais não existem, mas aqui existem sempre). Em seguida usamos o teste das segundas derivadas (Hessiano) para classificar cada ponto crítico. Vou explicar cada conceito e fórmula enquanto aplico.

Passo 3

Definição e cálculo das derivadas parciais (passo didático): a derivada parcial de f em relação a x, chamada f_x, mede como f varia quando alteramos x mantendo y fixo. Analogamente f_y é a derivada parcial em relação a y, mantendo x fixo. Cálculo direto aplicando regras usuais de derivação:
Derivando f(x,y)=x^{3}+x^{2}+2y^{2} em relação a x (tratando y como constante):
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{3}\big)+\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}\big)+\frac{\partial}{\partial x}\big(2y^{2}\big) =3x^{2}+2x+0.
Escrevendo fatorado (útil para resolver igual a zero):
f_x(x,y)=x(3x+2).
Derivando em relação a y (tratando x como constante):
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{3}\big)+\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}\big)+\frac{\partial}{\partial y}\big(2y^{2}\big) =0+0+4y.

Passo 4

Condição para pontos críticos: resolvemos o sistema
\begin{cases} f_x(x,y)=0,\\[4pt] f_y(x,y)=0. \end{cases}
Substituindo as expressões que encontramos:
\begin{cases} x(3x+2)=0,\\[4pt] 4y=0. \end{cases}
Da segunda equação vem imediatamente y=0. Da primeira, x(3x+2)=0 implica x=0 ou 3x+2=0, isto é x=-\dfrac{2}{3}. Portanto os pontos críticos são
(0,0)\quad\text{e}\quad\left(-\dfrac{2}{3},0\right).]

Passo 5

Agora precisamos classificar esses pontos. Vamos usar o teste das segundas derivadas (para funções de duas variáveis). Primeiro, definimos as segundas derivadas parciais:
f_{xx}=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2},\qquad f_{yy}=\frac{\partial^2 f}{\partial y^2},\qquad f_{xy}=\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}.
O discriminante do Hessiano (às vezes chamado de D) é
D(x,y)=f_{xx}(x,y)\,f_{yy}(x,y)-\big(f_{xy}(x,y)\big)^2.
Regra de classificação (explicando o porquê de forma simples): se D>0 e f_{xx}>0 então f tem mínimo local; se D>0 e f_{xx}<0 então máximo local; se D<0 então ponto de sela; se D=0 o teste é inconclusivo. Intuição curta: f_{xx} e f_{yy} dizem se a curvatura nas direções x e y é para cima ou para baixo; o determinante combina essas curvaturas.

Passo 6

Calculemos as segundas derivadas para a função dada:
Derivando f_x(x,y)=3x^{2}+2x em relação a x:
f_{xx}(x,y)=6x+2.
Derivando f_y(x,y)=4y em relação a y:
f_{yy}(x,y)=4.
Derivando f_x em relação a y (ou f_y em relação a x):
f_{xy}(x,y)=0,
pois não há termo misto xy na função.

Passo 7

Avaliação no ponto (0,0):
Calcule f_{xx}(0,0)=6\cdot 0+2=2. Já f_{yy}(0,0)=4 e f_{xy}(0,0)=0. Então
D(0,0)=f_{xx}(0,0)\,f_{yy}(0,0)-\big(f_{xy}(0,0)\big)^2=2\cdot 4-0=8.
Temos D(0,0)=8>0 e f_{xx}(0,0)=2>0. Pelo teste, isso implica que (0,0) é um ponto de mínimo local. (Curiosidade: o valor da função aí é f(0,0)=0, se quiser comparar com outros pontos.)

Passo 8

Avaliação no ponto \left(-\dfrac{2}{3},0\right):
Calcule f_{xx} nesse ponto:
f_{xx}\!\left(-\dfrac{2}{3},0\right)=6\left(-\dfrac{2}{3}\right)+2=-4+2=-2.
Temos f_{yy}=4 e f_{xy}=0 como antes. Então
D\!\left(-\dfrac{2}{3},0\right)=(-2)\cdot 4-0=-8.
Aqui D<0. Pelo teste das segundas derivadas, quando D<0 o ponto crítico é ponto de sela. (Valor da função neste ponto: f\!\left(-\dfrac{2}{3},0\right)=\dfrac{4}{27}, apenas para referência.)

Resposta

\,(0,0) é um mínimo local.
\left(-\dfrac{2}{3},0\right) é um ponto de sela.

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